Beweis Nullstellen und Co einer Kurvenschar |
| 18.04.2010, 20:22 | Fräulein xyz | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis Nullstellen und Co einer Kurvenschar Ich brauch mal wieder Hilfe... Zu jeder Zahl a ist eine Funktionf gegeben durch f(x)=x(x-a)². Zeichnen Sie einige Kurven der Schar. Welche Vermutungenergeben siech über die Anzahl der Nullstellen, die Anzahl und Lage der Extrempunkte und gemeinsame Punkte aller Kurven der Schar? Beweisen Sie ihre Vermutungen. Meine Ideen: Die Graphen habe ich gezeichnet, aber irgendwie schaffe ich dass nicht mit dem hier gebotenen Funktiongraphenerstellungsprogramm. Meine Vermutung: Anzahl der Nullstellen: 2 außer wenn a=0 gemeinsamer Punkt: P(0;0) gemeinsamer Punkt (Beweis): f(O)=0*(0-a²)=0*0²=0*0²=0 Ich hoffe, dass man das nachvollziehen kann... Bei dem Rest habe ich keine Vermutung beziehungsweise keine Beweise. Mir ist noch aufgefallen, dass Graphen sich an der x- und gleichzeitig y-Achse spiegeln. Also zum Beispiel a=-3 und a=3 (oder a=-2 und a=2; a=-1 und a=1). |
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| 18.04.2010, 20:44 | Dorika | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey, klingt soweit gut. Prinzipiell hat eine Funktion ja immer maximal eine Nullstellenanzahl von der Höhe ihres größten x-Exponenten. Daher würde ich vielleicht formulieren, dass der Graph eine Nullstelle bei x=0 und eine doppelte bei x=a hat, im speziellen Fall entsprechend eine dreofache Nullstelle bei x=0. Die Lösung für den gleichen Punkt ist korrekt, allerdings versteh ich deine Argumentationsweise nicht so ganz. Mit Hilfe der Aussage, dass alle Graphen eine Nullstelle bei x=0 haben, erübrigt sich die Aufgabe schon. Für die Extrempunkte einfach f(x) ableiten, notwendiges Kriterium mit f'(x)=0, hinreichendes Kriterium f''(x) ungleich 0 benutzen und ggf fallunterscheidung durchführen. lg |
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