Integral

19.04.2010, 13:44

Johanner123

Integral

Hallo,
wie berechne ich das Integral:
$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{\frac 1 {x^2}+\frac 1 x} \end{eqnarray*}$

Ich habe es auf einen Nenner gebracht, und das 1/x vor die Wurzel gezogen. Aber das hilft mir leider auch nicht weiter.

19.04.2010, 14:17

Mulder

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RE: Integral
Also, so ganz einfach ist das auch nicht. Aber zwei Mal partiell integrieren sollte helfen. Dann erhält man am Ende ein "Restintegral", das sich mit Subsitution lösen lässt. Der Ansatz

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x} \cdot \sqrt{1+x} \, \, \dx \end{eqnarray*}$

ist schon in Ordnung. Nun würde ich partiell an die Sache rangehen. Danach nochmal partiell integrieren und dann sollte man bei einem Restintegral der Form

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sqrt{1+x}}{x} \, \dx \end{eqnarray*}$

landen, was man dann durch Substitution lösen könnte. Habe ich jetzt allerdings nicht ins kleinste Detail durchgerechnet, ist erstmal eine grobe Anleitung. Die sollte allerdings funktionieren.

Edit: Wehe, jemand sagt was! Augenzwinkern

19.04.2010, 14:19

klarsoweit

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RE: Integral
Man könnte ja auch einfach x = u² - 1 substituieren. Augenzwinkern

19.04.2010, 14:27

Johanner123

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da bleibtdoch aber immer noch: $\begin{eqnarray*} 2\int \frac{u^2}{u^2-1} du \end{eqnarray*}$

19.04.2010, 14:39

klarsoweit

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Ja und wo ist da das Problem? verwirrt

Da hat man eine gebrochen rationale Funktion, die man mit den üblichen Methoden integrieren kann. In diesem Fall formt man einfach um:

$\begin{eqnarray*} \frac{u^2}{u^2-1} = \frac{u^2 - 1 +1}{u^2-1} = 1 + \frac{1}{u^2-1} \end{eqnarray*}$ smile

19.04.2010, 14:55

Mulder

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Zitat:

Original von klarsoweit
Man könnte ja auch einfach x = u² - 1 substituieren.

Genau das wäre auch mein Vorschlag nach zweimaliger partieller Integration gewesen - bis mir eingefallen ist, dass zweimal partiell integrieren einen logischerweise wieder genau an den Anfangspunkt führt.

Ich würde es ja am liebsten alles wegeditieren, aber zur allgemeinen Belustigung lasse ich es mal stehen. Big Laugh

20.04.2010, 15:18

Johanner123

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Ja das zerlegen habe ich auch hin bekommen. Nur Wie integriere ich den rechten Term? Denn Nenner zu substituieren bringt mir ja nix, da im Zähler nur eine 1 steht.

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja und wo ist da das Problem? verwirrt

20.04.2010, 15:23

klarsoweit

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Das Stichwort lautet nach wie vor: "übliche Methode für Integration gebrochen rationaler Funktionen", oder kurz: Partialbruchzerlegung. Augenzwinkern

20.04.2010, 16:03

Johanner123

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Gut also:

das Integral mir u:

$\begin{eqnarray*} u+\frac 1 2 \ln(\frac{2u-2}{2u+2}) \end{eqnarray*}$

Das scheint noch zu stimmen dann habe ich rücksubstituiert:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1}+\frac 1 2 \ln(\frac {\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}) \end{eqnarray*}$

Da ist jetzt irgendwo ein Fehler drinn. Nur wo?

20.04.2010, 17:00

Johanner123

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Ah die 2 Habe ich vergessen. Nur mal eine Frage wir dürfen dieses Semester Integral Tabellen nutzen. Könnte man die Aufgabe damit leichter bewältigen? Und wenn ja wie?

20.04.2010, 17:38

Huggy

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Das kommt auf den Umfang der Tabelle an.
Ganz dünne Tabellen enthalten nur die elementaren Integrale. Die meisten Tabellen dürften auch

$\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

enthalten. Und in etwas dickeren Tabellen findest du direkt

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sqrt{x+1}}{x}dx \end{eqnarray*}$

Übrigens gehören um das Argument des Logarithmus noch Betragszeichen.

20.04.2010, 18:01

Johanner123

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Hmm also bei mir steht sogar das 2. drinn. Nur noch eine Frage zum ersten Integral über die Formelsammlung:

da steht:

$\begin{eqnarray*} a^2\pm x^2 \end{eqnarray*}$

+, |x|>0:

$\begin{eqnarray*} \int...=\frac 1 a \frac 1 2 \ln(\frac {a+x}{x-a}) \end{eqnarray*}$

Kann ich mir das irgendwie auf x^2-a zurechtbiegen? Ich komme immer auf ein falsches Vorzeichen.

20.04.2010, 18:10

Huggy

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$\begin{eqnarray*} x^2-a^2=-(a^2-x^2) \end{eqnarray*}$

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