Orthonormalbasis finden

19.04.2010, 15:10

Bullet1000

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Orthonormalbasis finden

Hallo, ich sitze gerade an einer Aufgabe und weiß aber nicht, ob meine Lösung stimmt.

Also es sei folgendes Skalarprodukt definiert:

$\begin{eqnarray*} <f,g>:=\int_a^b \! f(x)g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Nun soll ich mit Hilfe der Winkelfunktionen ein abzählbares Orthonormalsystem konstruieren bzgl. dieses Skalarproduktes.

NUn ja, bekannt ist ja, dass die dazugehörige Norm lautet: $\begin{eqnarray*} \| fg \| = \sqrt{<f,g>} \end{eqnarray*}$

Kann ich da jetzt einfach das Gram-Schmidt'sche Orthonormalisierungsverfahren anwenden?

Also ich nehme mir halt einfach die Vektoren $\begin{eqnarray*} w_1=sin(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2=cos(x) \end{eqnarray*}$ und orthonormalisiere diese?

19.04.2010, 15:44

WebFritzi

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RE: Orthonormalbasis finden

Zitat:

Original von Bullet1000
Also es sei folgendes Skalarprodukt definiert:

$\begin{eqnarray*} <f,g>:=\int_a^b \! f(x)g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Auf welchem Raum?

Zitat:

Original von Bullet1000
NUn ja, bekannt ist ja, dass die dazugehörige Norm lautet: $\begin{eqnarray*} \| fg \| = \sqrt{<f,g>} \end{eqnarray*}$

Mach dir klar, dass das Unsinn ist.

19.04.2010, 15:48

Bullet1000

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Also der Raum ist $\begin{eqnarray*} C([a,b]) \end{eqnarray*}$

und die Norm ist natürlich $\begin{eqnarray*} \|f \|=\sqrt{<f,f>} \end{eqnarray*}$

Das sollte jetzt aber einen Sinn ergeben.

Also ich bin mir halt unsicher, weil mit einer Basis sollte man dann ja doch jedes element des Vektorraumes darstellen können.

Helfem mir evtl. auch die orthogonalitätsrelationen der Winkelfunktionen?

19.04.2010, 15:51

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bullet1000
Also der Raum ist $\begin{eqnarray*} C([a,b]) \end{eqnarray*}$

Und warum sagst du das nicht gleich? unglücklich

unglücklich

Gram-Schmidt wird hier nichts. Wenn du dir das Verfahren mal anschaust, solltest du auch sehen, warum.

Schau dir lieber mal die Funktionen $\begin{eqnarray*} x\mapsto\sin(nx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\mapsto\cos(nx) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ an.

19.04.2010, 15:55

Bullet1000

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Na ja, ich weiß doch, dass

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi} ^ {\pi} \! sin(nx)cos(mx) \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

Das Problem liegt jetzt aber darin, dass ja nun die Integralsgrenzen zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ werden.

19.04.2010, 16:02

WebFritzi

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Dann solltest du das Argument der Funktionen transformieren. Wenn z.B. a = 0 und $\begin{eqnarray*} b = \pi \end{eqnarray*}$ ist, dann sind die neuen Funktionen $\begin{eqnarray*} x\mapsto\sin(2nx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\mapsto\cos(2nx). \end{eqnarray*}$

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19.04.2010, 16:10

Bullet1000

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Ach so, alles klar.

Ich muss also das Argument in meinen Winkelfunktionen so anpassen, dass es für beliebige Integrationsgerenzen passt.

Puh, das wird schwierig, mal schauen.
Hast du einen Tipp, wie ich das am besten einsehen kann?

19.04.2010, 16:19

WebFritzi

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Ja: Nimm dir Zeit und tüftle.

19.04.2010, 16:22

Bullet1000

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blos mal noch eine Frage.

$\begin{eqnarray*} sin(nx)cos(nx)=\frac{1}{2}(sin[(n+n)x]+sin[(n-n)x])=\frac{1}{2}sin(2nx) \end{eqnarray*}$

Ist es nützlich diese Eigenschaft zu nutzen?

oder sollte ich doch lieber allgemeiner arbeiten, also mit

$\begin{eqnarray*} sin(mx)cos(nx)=\frac{1}{2}(sin[(m+n)x]+sin[(m-n)x]) \end{eqnarray*}$

19.04.2010, 16:25

WebFritzi

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Wieso glaubst du, dass ich diese Frage verstehe? unglücklich

unglücklich

19.04.2010, 16:30

Bullet1000

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hmm... Ich meinte nur, ob ich im Argument von $\begin{eqnarray*} cos \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin \end{eqnarray*}$ lieber zwei unterschiedliche natürliche Zahlen annehmen sollte.

19.04.2010, 16:39

WebFritzi

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Verstehe ich immernoch nicht. unglücklich

unglücklich

19.04.2010, 16:43

Bullet1000

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Du hast ja gsagt, ich soll die Funktionen $\begin{eqnarray*} sin(nx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos(nx) \end{eqnarray*}$ betrachten.

Beide haben das gleiche Argument $\begin{eqnarray*} nx \end{eqnarray*}$

Ich wollte jetzt nur fragen, ob es bei der Konstruktion meiner Basis evtl. besser wäre zwei unterschiedliche Argumente in den Winkelfunktionen zu haben $\begin{eqnarray*} sin(mx) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} cos(nx) \end{eqnarray*}$

Oder geht es auch genau so gut, wenn ich die Argumente gleich lasse?

19.04.2010, 16:53

Bullet1000

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Also eines hab ich jetzt schon mal erreicht.

$\begin{eqnarray*} \int_0^a \! sin(\frac{\pi}{a} x)cos(\frac{\pi}{a} x) \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist hoffentlich schon mal ein guter Anfang.

Jetzt muss ich es aber irgendwie noch schaffen auch meine untere Grenze beliebig wählen zu können.

19.04.2010, 16:54

WebFritzi

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Mach dir klar, dass deine Frage unsinnig ist.

Frage an dich: Was ist dein Ziel?

Tipp: Versuch dich erstmal am Fall $\begin{eqnarray*} [a,b] = [0,2\pi]. \end{eqnarray*}$

19.04.2010, 16:57

Bullet1000

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Zwei Argumente $\begin{eqnarray*} c,d \end{eqnarray*}$ für meine Winkelfunktionen zu finden, so dass.

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sin(c)cos(d) \, dx =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sin(c)sin(c) \, dx =\int_a^b \! cos(d)cos(d) \, dx =1 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} c=c(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} d=d(x) \end{eqnarray*}$

19.04.2010, 17:05

WebFritzi

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Es ist nach einem abzählbaren Orthonormalsystem gefragt. Zwei Funktionen reichen also nicht aus.

19.04.2010, 17:07

Bullet1000

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Ja, genau das hatte ich mich auch schon gefragt. Das war mir irgendwie schleierhaft.

Ich glaube ich habe die Aufgabenstellung noch garnicht richtig verstanden.

Ich suche also abzählbar viele Winkelfunktionen, die zueinander "senkrecht" stehen und die auf die "Länge" 1 normiert sind.
Diese Funktionen sollten dann die Eigenschaft einer Basis besitzen.

19.04.2010, 17:20

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bullet1000
Ich suche also abzählbar viele Winkelfunktionen, die zueinander "senkrecht" stehen und die auf die "Länge" 1 normiert sind.

Wobei die Normierung erstmal nebensächlich ist. Das kann man im Nachhinein ja noch korrigieren.

Zitat:

Original von Bullet1000
Diese Funktionen sollten dann die Eigenschaft einer Basis besitzen.

Wo steht das?

19.04.2010, 17:26

Bullet1000

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Stimmt. Sie sollen nur ein Orthonormalsystem bilden.

Aber was genau heißt das jetzt? Wie konsturiere ich ein solches System?

Muss die Lösung evtl so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f_n(x)g_n(x) \, dx =0 \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_n(x) \end{eqnarray*}$ immer Winkelfunktionen sind.

Diese wären dann abzählbar und stünden orthogonal zueinander.

19.04.2010, 17:52

Bullet1000

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Ich habe eine Idee.
Aber es ist noch nicht die Lösung des Problems.

Wenn ich jetzt setze $\begin{eqnarray*} f_n(x):=\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(nx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_n:=\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(mx) \end{eqnarray*}$

Dann bilden doch $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_n \end{eqnarray*}$ ein solches System, für die Integrale

$\begin{eqnarray*} \int_ {-\pi} ^ {\pi} \! f_n(x)g_n(x) \, dx =0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit erstmal?

19.04.2010, 18:03

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bullet1000
Muss die Lösung evtl so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f_n(x)g_n(x) \, dx =0 \end{eqnarray*}$

Nein. Das ist kein Orthonormalsystem, sondern eine Gleichung!

Zitat:

Original von Bullet1000
Wenn ich jetzt setze $\begin{eqnarray*} f_n(x):=\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(nx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_n:=\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(mx) \end{eqnarray*}$

Dann bilden doch $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_n \end{eqnarray*}$ ein solches System, für die Integrale

$\begin{eqnarray*} \int_ {-\pi} ^ {\pi} \! f_n(x)g_n(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit erstmal?

Da sind einige Schnitzer drin. Erstens macht die Definition $\begin{eqnarray*} g_n:=\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(mx) \end{eqnarray*}$ keinen Sinn. Berichtige das.

Auch der Satz

Zitat:

Original von Bullet1000
Dann bilden doch $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_n \end{eqnarray*}$ ein solches System, für die Integrale

$\begin{eqnarray*} \int_ {-\pi} ^ {\pi} \! f_n(x)g_n(x) \, dx \end{eqnarray*}$

ist sinnlos. Schon allein grammatisch. Du meinst folgendes:

Das System $\begin{eqnarray*} \{f_n,g_m : n,m\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ ist ein Orthonormalsystem.

Das ist richtig. Aber die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \int_ {-\pi} ^ {\pi} \! f_n(x)g_n(x) \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

reicht dafür noch nicht. Nein, ich meine nicht die Normierung. Die fehlt auch bei der Begründung, ja. Aber es müssen doch auch verschiedene f_n's aufeinander senkrecht stehen.

19.04.2010, 18:14

Bullet1000

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Ok, ich versuch es nochmal korrekt zu formulieren:

Setze $\begin{eqnarray*} f_n(x):=\frac{1}{\sqrt{\pi}}sin(nx) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_n:=\frac{1}{\sqrt{\pi}}cos(nx) \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_ {-\pi} ^ {\pi} \! f_j(x)g_k(x) \, dx =0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \int_ {-\pi} ^ {\pi} \! f_j(x)f_j(x) \, dx =\int_ {-\pi} ^ {\pi} \! g_k(x)g_k(x) \, dx=1 \end{eqnarray*}$

Ach so und $\begin{eqnarray*} f_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{eqnarray*}$

Dann bildet die nicht abzählbare Folge $\begin{eqnarray*} f_0,f_1,g_1,f_2,g_2,...,f_n,g_n,.. \end{eqnarray*}$
ein Orthonormalsystem

19.04.2010, 18:17

WebFritzi

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Lies dir meinen letzten Beitrag durch.

19.04.2010, 18:22

Bullet1000

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Ach so, ich verstehe.

Na ja, aber diese Bedingung ist im Prinzip auch erfüllt, denn

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi \! f_j(x)f_k(x) \, dx =\delta_{j,k} \end{eqnarray*}$

damit ist für unterschiedliche $\begin{eqnarray*} f_n' \end{eqnarray*}$ s Das Skalarprodukt auch Null.

19.04.2010, 18:28

WebFritzi

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Ja, aber das ist wichtig. Verschiedene g_n's musst du natürlich auch untersuchen.

Reicht auch einfach nur das System $\begin{eqnarray*} \{f_n : n\in\mathbb N\}\,? \end{eqnarray*}$

19.04.2010, 18:35

Bullet1000

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Ok, gut, das habe ich soweit verstanden.
Ich denke das System $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ reicht nicht, weil dann das Skalarprodukt mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ garnicht definiert wäre.

das ist aber leider noch nciht die Lösung des Problems, denn die Grenzen sind leider nicht $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

Ich muss jetzt also irgendwie die Argumente und Vorfaktoren meiner Winkelfunktionen so wählen, dass wieder dasselbe gilt, oder?

19.04.2010, 20:24

WebFritzi

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Zitat:

Original von Bullet1000
Ich denke das System $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ reicht nicht, weil dann das Skalarprodukt mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ garnicht definiert wäre.

Was ist das wieder für ein Quatsch?! Was ist denn g? Das Skalarprodukt ist für alle stetigen Funktionen auf deinem Intervall definiert. Außerdem reicht das System der f_n. Es war ja nur nach einem abzählbaren System gefragt.

19.04.2010, 20:31

Bullet1000

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hmm... OK, ich dachte es muss zwischen zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ definiert sein.

Ich versuch jetzt schon seit einer Stunde meine WInkelfunktionen so anzupassen, damit das Ganze auch für beliebige Integrationsgrenzen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ funktioniert. Aber irgendwie will es mir einfach nicht gelingen.

Gibt es da evtl eine Methode bzw. einen Trick, mit dem ich schneller sehe, wie meine Funktionen aussehen müssen, damit sie ein abzählbares ONS bilden?

20.04.2010, 17:38

Bullet1000

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Ist es überhaupt möglich solche Argumente für die Winkelfunktionen zu finden?

Oder muss ich evtl. Voraussetzungen an die Integrationsgrenzen setzen?

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