Umkehrfunktion

19.04.2010, 17:23

axiom_09

Umkehrfunktion

Kann mir jemand sagen, wie ich von der folgenden Funktion die Umkehrfunktion bilden kann? Das Problem liegt daran, dass sich das Ganze nicht nach y auflö´sen lässt.

$\begin{eqnarray*} y = x + e^x \Rightarrow x = y + e^y \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich leider nicht!

Vielen Dank für mögliche Hilfe.

Grüße axiom_09

19.04.2010, 17:24

WebFritzi

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RE: Umkehrfunktion

Zitat:

Original von axiom_09
Das Problem liegt daran, dass sich das Ganze nicht nach y auflösen lässt.

Und wieso glaubst du dann, dass man eine Umkehrfunktion angeben kann? verwirrt

19.04.2010, 17:26

axiom_09

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RE: Umkehrfunktion
Weil die Funktion streng monoton ist.

19.04.2010, 18:05

WebFritzi

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OK. Die Antwort ist, dass man die Umkehrfunktion nicht allein mithilfe von elementaren Funktionen angeben kann.

19.04.2010, 18:19

axiom_09

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Und das heisst dann...?

19.04.2010, 19:17

Leopold

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Das heißt, daß die Umkehrfunktion nicht durch einen Term, der nur die Standardfunktionen enthält, ausgedrückt werden kann. Du brauchst dazu höher transzendente Funktionen. Zum Beispiel geht es mit der Lambertschen W-Funktion, besonders damit.

22.04.2010, 22:16

axiom_09

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Mir ist aber leider immer noch nicht klar, wie ich jetzt bzgl. der Umkehrfunktion, die lambertsche W-Funktion hierbei anwenden soll.
Hätte vielleicht jemand eine Idee?

23.04.2010, 09:09

Leopold

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Ich habe meine Zweifel, daß du die Umkehrfunktion explizit angeben sollst. Wie gesagt, mit Standardfunktionen geht das schon einmal gar nicht, man muß schon einige Verrenkungen machen, etwa die Lambert-W-Funktion $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ zu Hilfe nehmen. Es wäre daher nützlich, wenn wir die vollständige originale Aufgabenstellung mitgeteilt bekämen.

Was die Lambert-W-Funktion angeht, so besteht für $\begin{eqnarray*} s \geq - \operatorname{e}^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \geq -1 \end{eqnarray*}$ der Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} s = t \operatorname{e}^t \ \ \Leftrightarrow \ \ t = W(s) \end{eqnarray*}$

Im konkreten Fall rechnet man so:

$\begin{eqnarray*} y = x + \operatorname{e}^x \ \ \Leftrightarrow \ \ y - x = \operatorname{e}^x \ \ \Leftrightarrow \ \ (y-x) \operatorname{e}^{y-x} = \operatorname{e}^y \end{eqnarray*}$

Und jetzt erkennt man für $\begin{eqnarray*} t = y-x \end{eqnarray*}$ die Struktur von oben.

23.04.2010, 09:55

axiom_09

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RE: Umkehrfunktion
Ok. Also die genaue Aufgabenstellung lautet so:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x + e^x \end{eqnarray*}$ besitzt als streng monotone Funktion eine Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .
Bestimmme $\begin{eqnarray*} g(1), g'(1), g''(1) \end{eqnarray*}$ .

23.04.2010, 16:09

Leopold

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Das klingt ja schon ganz anders.

Schreiben wir

$\begin{eqnarray*} x = f(y) = y + \operatorname{e}^y \, , \ \ y = g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist also die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} f(0) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} g(1) = 0 \end{eqnarray*}$ . Bekanntermaßen gilt aber für die Ableitungen von Funktion und Umkehrfunktion

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{1}{f'(y)} \, , \ \ \text{wobei} \ \ x = f(y) \, , \ y = g(x) \end{eqnarray*}$

Hier konkret:

$\begin{eqnarray*} g'(1) = \frac{1}{f'(0)} \end{eqnarray*}$

Für die zweite Ableitung würde ich

$\begin{eqnarray*} x = y + \operatorname{e}^y \end{eqnarray*}$

zweimal nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ differenzieren. Bezeichnet man die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit einem Strich, so folgt:

$\begin{eqnarray*} y'' \left( 1 + \operatorname{e}^y \right) + y'^{\, 2} \operatorname{e}^y = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt $\begin{eqnarray*} y = g(x) \end{eqnarray*}$ einsetzen und die Gleichung konkret an der Stelle $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ auswerten.

23.04.2010, 17:36

axiom_09

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Den letzten Schritt für die zweite Ableitung verstehe ich nicht ganz, könntest du das etwas näher erläutern bitte?

23.04.2010, 18:24

Leopold

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Ich differenziere einmal für dich:

$\begin{eqnarray*} x = y + \operatorname{e}^y \end{eqnarray*}$

Die Variable ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , und es wird nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ differenziert. $\begin{eqnarray*} y = g(x) \end{eqnarray*}$ ist von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängig.

Links erhält man $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ als Ableitung.
Rechts steht eine Summe. Die wird gliedweise differenziert (Summenregel). Der zweite Summand ist eine Verkettung mit der Exponentialfunktion als äußerer und $\begin{eqnarray*} y = g(x) \end{eqnarray*}$ als innerer Funktion. Darauf ist die Kettenregel anzuwenden. Insgesamt erhält man

$\begin{eqnarray*} 1 = y' + y' \operatorname{e}^y \end{eqnarray*}$

[Daraus kann man übrigens $\begin{eqnarray*} g'(1) \end{eqnarray*}$ auch errechnen. Man muß sich ja nur erinnern, daß $\begin{eqnarray*} y = g(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y' = g'(x) \end{eqnarray*}$ bedeutet. Setze also $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ein.]

Und jetzt noch einmal differenzieren.

23.04.2010, 19:08

axiom_09

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Achso, jetzt geht mir das Licht an. Alles klar, hat sich erledigt.
Vielen Dank für die Antwort.

Grüße axiom_09

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