Fehler in einem Beweis finden. (Vollständige Induktion)

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Peter1985 Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler in einem Beweis finden. (Vollständige Induktion)
hi,
ich habe hier eine wirklich kniflige aufgabe hier vor mir. Ich denke schon einige zeit über einen lösungsweg nach. aber mir fällt leider nichts dazu ein. traurig .
meint ihr, ihr könntet mir einen tipp dazu geben?

Aufgabe:

Wir beweisen mittels vollständiger Induktion:
Sind n Personen in einem Raum, so haben alle dasselbe Geschlecht.
Da dies wohl nicht sein kann, besteht Ihre Aufgabe dain, den Fehler im folgenden Beweis zu finden:

Beweis:
Induktionsanfang n = 1 ist klar.
Induktionsschritt : Die Aussage sei wahr für n. Sind nun n+1 Personen in einem Raum, so wähle eine Person aus und schicke sie hinaus. NAch Induktionsvoraussetzung haben die im Raum gebliebenen n Personen alle das gleiche Geschlecht. Wir holen die hinausgegange Person wieder herein und schicken eine andere Person hinaus. Dann
hat (wieder nach Induktionsvoraussetzung) die zuerst hinausgeschickte Person dasselbe Geschlecht wie alle anderen im Raum befindlichen Personen. Da dies nach dem ersten Beweisschritt auch für die als zweite hinausgesandte Person zutrifft, haben also alle n+1
Personen dasselbe Geschlecht.
(Hinweis: Begründung darf nicht länger als eine halbe Din-A-4-Seite in normaler Schriftgröße sein!!!)


I ernst, ich komme nicht mal auf eine idee, was hier falsch sein könnte.
Ich würde mich sehr auf Tipps und Ideen freuen.

Schonmal vielen dank im voraus :-)

Peter
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehler in einem Beweis finden. (Vollständige Induktion)
Zitat:
Original von Peter1985
Induktionsanfang n = 1 ist klar.

Genau da ist das Problem. Das ist eben nicht klar.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehler in einem Beweis finden. (Vollständige Induktion)
Zitat:
Original von Peter1985
Sind nun n+1 Personen in einem Raum, so wähle eine Person aus und schicke sie hinaus. NAch Induktionsvoraussetzung haben die im Raum gebliebenen n Personen alle das gleiche Geschlecht.

Meiner Meinung nach liegt hier der Fehler. Das Problem ist, dass die Zusammensetzung der übrig bleibenden n Personen entscheidend ist. Sofern nach Hinausschicken einer Person eine andere Gruppe, als die der Indunktionsvoraussetzung, zurückbleibt, kann man die Induktionsvoraussetzung natürlich nicht mehr anwenden.

MaW: In der Induktionsvoraussetzung wird eine spezielle Gruppe von Personen beschrieben, die durch ihre Anzahl nicht vollständig charakterisiert wird.


Edit (16:04): Nach genauerem Betrachten (*zwinker* an klarsoweit) stimme ich nun zu, dass der Fehler im induktionsanfang steckt. Augenzwinkern

Edit2: Die Formulierung "..ist klar" ist ja quasi auch ein Wink mit dem Zaunpfahl, denn genau wie nach "It is obvious ..." oder "It is easy to verify..." kommt in der Regel eine nichttriviale Aussage, die es gründlich zu prüfen gilt. Big Laugh
meph Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehler in einem Beweis finden. (Vollständige Induktion)
Zitat:
Original von Peter1985
hi,
ich habe hier eine wirklich kniflige aufgabe hier vor mir. Ich denke schon einige zeit über einen lösungsweg nach. aber mir fällt leider nichts dazu ein. traurig .
meint ihr, ihr könntet mir einen tipp dazu geben?

Aufgabe:

Wir beweisen mittels vollständiger Induktion:
Sind n Personen in einem Raum, so haben alle dasselbe Geschlecht.
Da dies wohl nicht sein kann, besteht Ihre Aufgabe dain, den Fehler im folgenden Beweis zu finden:

Beweis:
Induktionsanfang n = 1 ist klar.
Induktionsschritt : Die Aussage sei wahr für n. Sind nun n+1 Personen in einem Raum, so wähle eine Person aus und schicke sie hinaus. NAch Induktionsvoraussetzung haben die im Raum gebliebenen n Personen alle das gleiche Geschlecht. Wir holen die hinausgegange Person wieder herein und schicken eine andere Person hinaus. Dann
hat (wieder nach Induktionsvoraussetzung) die zuerst hinausgeschickte Person dasselbe Geschlecht wie alle anderen im Raum befindlichen Personen. Da dies nach dem ersten Beweisschritt auch für die als zweite hinausgesandte Person zutrifft, haben also alle n+1
Personen dasselbe Geschlecht.
(Hinweis: Begründung darf nicht länger als eine halbe Din-A-4-Seite in normaler Schriftgröße sein!!!)


I ernst, ich komme nicht mal auf eine idee, was hier falsch sein könnte.
Ich würde mich sehr auf Tipps und Ideen freuen.

Schonmal vielen dank im voraus :-)

Peter


Hallo Peter. Zufällig auch Student an der Uni-Kassel? Habe zu morgen exakt dieselbe (wortwötlich) Aufgabe zu lösen Augenzwinkern

zu den Kommentaren: Wieso sollte es für n=1 denn nicht klar sein?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Der Induktionsanfang ist vollkommen korrekt! Wenn eine Person im Raum ist, haben natürlich alle Personen im Raum dasselbe Geschlecht (es ist ja nur eine da). Der Fehler liegt im Induktionsschritt: Untersuche mal, ob der für auch klappt! Augenzwinkern

Gruß MSS
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehler in einem Beweis finden. (Vollständige Induktion)
Zitat:
Original von Peter1985
Sind n Personen in einem Raum, so haben alle dasselbe Geschlecht.

@MSS: ich bin da anderer Ansicht.

Obige Aussage mathematisch formuliert lautet so:
Vergleicht man n Personen paarweise, so haben alle Paare das gleiche Geschlecht. Es müssen also mindestens mal 2 Personen im Raum sein, sonst kann man gar keinen Vergleich machen. Augenzwinkern
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ja. Ist irgendwie auch ok. Aber dann formuliert man die Aussage eben um:

Jede Menge von Personen, die sich in einem Raum befinden, enthält nur Personen eines Geschlechts.

Jetzt sollte dein Argument nicht funktionieren.

Gruß MSS
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja. Trotzdem ist da implizit ein Vergleich drin. Und da stellt sich die Frage, ob ein Vergleich mit sich selbst (und damit also der Induktionsanfang mit n=1) zulässig ist.
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