5^n-1 durch 4 teilbar - Beweis vollst. Induktion

19.04.2010, 17:46

Matheversteher

5^n-1 durch 4 teilbar - Beweis vollst. Induktion

Hallo Matheboarder, Wink

das neue Semester hat begonnen und somit auch meine Fragen, bzw meine Ratlosigkeit.
Mit Beweisen tue ich mich chronisch schwer. Lesen1

Hier meine Aufgabe, bzw der erste Teil meiner Aufgabe.

Beweise sie mit vollständiger Induktion: Für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5^n-1 \end{eqnarray*}$ ist durch 4 teilbar

Induktionsanfang:
Die Aussage ist wahr für n=1

Induktiosnschritt
Die Aussage ist wahr für n=2
Die Aussage ist wahr für n=3
.
.
.
Die Aussage ist wahr für $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$

Induktionsbeweis
Nun muss die Aussage auch wahr sein für n+1. Oder bin ich da falsch? wenn ich das nun in die Aussage $\begin{eqnarray*} 5^n-1 \end{eqnarray*}$ einsetze dann folgt:

$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$ so und hier hänge ich nun. Den nächsten Schritt bekomme ich evtl auch noch hin, dieser sähe dann (so glaube ich) so aus:
$\begin{eqnarray*} (5^n * 5 )-1 \end{eqnarray*}$

So und nun weis ich absolut nicht weiter was ich dann machen könnte/darf/soll. Vllt kann ir hier ja jemand auf die Sprünge helfen und mir noch ein paar allgemeine Tipps/Kniffe bzgl dervollständigen Induktion geben und zeigen.

Gruß
Flo

19.04.2010, 17:50

kiste

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$\begin{eqnarray*} 5\cdot 5^n = 4\cdot 5^n + 5^n \end{eqnarray*}$ . Der Rest ist trivial.

19.04.2010, 17:51

IfindU

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$\begin{eqnarray*} 5 \cdot 5^n = 4 \cdot 5^n + 1 \cdot 5^n \end{eqnarray*}$

Edit: Zu spät traurig

19.04.2010, 17:52

Airblader

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RE: 5^n-1 durch 4 teilbar - Beweis vollst. Induktion

Zitat:

Original von Matheversteher
Induktiosnschritt
Die Aussage ist wahr für n=2
Die Aussage ist wahr für n=3
.
.
.
Die Aussage ist wahr für $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$

Was bitte soll das sein verwirrt

Du hast den Induktionsanfang gezeigt, okay. Nun nimmst du an, die Aussage stimmt für ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und folgerst daraus, dass es dann auch für (n+1) gelten muss.

Edit: Auch zu spät. Und da kiste als erster einen Weg hatte, lassen wir mal den stehen. Augenzwinkern

air

19.04.2010, 18:27

Matheversteher

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Zitat:

Zitat: Original von Matheversteher
Induktiosnschritt
Die Aussage ist wahr für n=2
Die Aussage ist wahr für n=3
.
.
.
Die Aussage ist wahr für $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$

Was bitte soll das sein verwirrt

Also wenn mein Induktionsschritt so nicht stimmt. kann mir dann bitte jemand von euch dreien zeigen wie es formal richtig ist?

und danke schon mal für eure hilfe bis hierhin smile

19.04.2010, 18:29

Airblader

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Vielleicht sagst du ja einfach, was du damit meintest. Ich weiß nicht, ob es richtig oder falsch ist, denn ich verstehe es ja nichtmal. Augenzwinkern

Ist das nur eine "Erklärung" des Verfahrens für dich selbst? Oder war das ein echter Teil der Lösung für dich?

Das Ausprobieren von den ersten drei, vier Zahlen ist schließlich kein Beweis.

air

19.04.2010, 21:36

Matheversteher

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Mhhh okee,
dann glaube ich eher, dass mir mal jemande das mit den 3 Teilen
- Induktionsvorraussetzung/anfang
- Induktionsschritt
- Induktionsbeweis

so wirklich gemeint ist.
Also der Induktionsbeweis ist ja das was ich eigentlich "zeigen" soll, dass es für alle n gilt (n+1).
Aber was ist mit den anderen beiden. wie kann ich es formal korrekt aufschreiben diese ganzen beweisschritte verwirrt

Edit:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 5\cdot 5^n = 4\cdot 5^n + 5^n \end{eqnarray*}$ . Der Rest ist trivial.

Also ich finde das mal gar nicht so trivial. Denn wo ist denn aus der ursprünglichen "Formel" $\begin{eqnarray*} 5^n-1 \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ hin? bei $\begin{eqnarray*} 5\cdot 5^n = 4\cdot 5^n + 5^n \end{eqnarray*}$ ist sie ja i-wie "verschwunden"?

19.04.2010, 22:59

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Matheversteher
Mhhh okee,
dann glaube ich eher, dass mir mal jemande das mit den 3 Teilen
- Induktionsvorraussetzung/anfang
- Induktionsschritt
- Induktionsbeweis

Na, bei Dir ist der Name wohl eher nicht Programm - oder? Augenzwinkern

Hier ist ein Dir wohlbekanntes Beispiel zur Verdeutlichung der Vorgehensweise...

Behauptung: $\begin{eqnarray*} 6 \ \mbox{teilt} \ (n^3-n) \ \mbox{für alle} \ n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang (n=1)

$\begin{eqnarray*} 1^3-1=0 \ \mbox{und} \ 6 \ \mbox{teilt} \ 0. \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung

Sei die Behauptung für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ bereits bewiesen.

Induktionsschritt (n->n+1)

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} (n+1)^3-(n+1)=n^3-n+3n(n+1). \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} n^3-n \end{eqnarray*}$ laut Induktionsvoraussetzung durch 6 teilbar.

Und $\begin{eqnarray*} 3n(n+1) \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich durch 6 teilbar.

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Selbstverständlich ist diese - wie so viele andere Teilbarkeitsaussagen - auch ohne Induktion 'direkt' zu beweisen.

19.04.2010, 23:30

Matheversteher

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So nach weiterem rumbrobieren, ist es mir glaube ich wie Schuppen von den Augen gefallen. verwirrt

Also:
Für n=0 ist $\begin{eqnarray*} 5^n-1 \end{eqnarray*}$ sicherlich war.

im Induktionsschritt folgt
$\begin{eqnarray*} 5^n-1= 4k \end{eqnarray*}$ (hier möchte ich sagen, dass das ganze durch 4 teilbar ist, ich hoffe man kann es so machen.

somit muss auch gelten
$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$ ist durch 4 teilbar

Induktionsschritt
A(n) --> A(n+1)

es folgt
$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 5^n*5-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 4*5^n+1*5^n-1 \end{eqnarray*}$

so und ich glaube hier ist danna uch schon fast ende, weil
$\begin{eqnarray*} 1*5^n-1 \end{eqnarray*}$ ist laut vorraussetzung druch 4 teilbar.

und
$\begin{eqnarray*} 4*5^n \end{eqnarray*}$ ist auch klar durch 4 teilbar.

Ich weis jezt nicht ob es so richtig ist. es it jetzt mittlerweile auch schon spät.Aber ich hoffe es kann mir hier jetzt noch jemand ein feedback geben ob es so richtig (vor allem formal) ist.

Wünsche eine gute Nacht

flo

19.04.2010, 23:33

kiste

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Zitat:

Original von Matheversteher
Also:
Für n=0 ist $\begin{eqnarray*} 5^n-1 \end{eqnarray*}$ sicherlich war.

Wie kann eine Formel wa(h)r sein? Du meinst dieser Ausdruck ist durch 4 teilbar!

Zitat:

im Induktionsschritt folgt
$\begin{eqnarray*} 5^n-1= 4k \end{eqnarray*}$ (hier möchte ich sagen, dass das ganze durch 4 teilbar ist, ich hoffe man kann es so machen.

somit muss auch gelten
$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$ ist durch 4 teilbar

Der ganze Abschnitt macht keinen Sinn, einfach weglassen.

Zitat:

Induktionsschritt
A(n) --> A(n+1)

es folgt
$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 5^n*5-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 4*5^n+1*5^n-1 \end{eqnarray*}$

so und ich glaube hier ist danna uch schon fast ende, weil
$\begin{eqnarray*} 1*5^n-1 \end{eqnarray*}$ ist laut vorraussetzung druch 4 teilbar.

und
$\begin{eqnarray*} 4*5^n \end{eqnarray*}$ ist auch klar durch 4 teilbar.

Ja stimmt. Der Prosatext muss natürlich besser ausformuliert werden als "dann auch schon fast ende" oder sowas

20.04.2010, 00:41

WebFritzi

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@Matheversteher: Bevor du dich in der Mathematik ausdrückst, solltest du dich erstmal ordentlich auf Deutsch ausdrücken.

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