Untergruppenkriterium

19.04.2010, 18:48	Gutschmaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppenkriterium Meine Frage: Hallo! Ich habe folgende Aufgabe: Beweise: Ist G eine endliche Gruppe $\begin{eqnarray} S \subset G, S \neq \varnothing \end{eqnarray}$ , so ist S eine Untergruppe, wenn aus $\begin{eqnarray} a, b \in S \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} a \circ b \in S \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Es fehlt mir nur noch der Beweis, dass das inverse Elemente in S enthalten ist, aber mittlerweile denke ich, dass dies gar nicht der Fall sein muss. Das Problem ist aber, ich finde kein Gegenbeispiel um die Behauptung zu widerlegen. Kann mir jemand helfen? LG Gernot
19.04.2010, 18:53	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a \mapsto a\circ b \end{eqnarray}$ ist eine Bijektion von S nach S. Also ist insbesondere das neutrale Element in S(auch b besitzt ein Urbild). Nutze abermals die Bijektivität der Abbildung.
19.04.2010, 19:01	Gutschmaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab leider keinen Schimmer was das mit der Aufgabe zu tun hat...
19.04.2010, 19:08	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja du hast jetzt 3 Tipps bekommen die du der Reihe nach ausführen solltest, dann hast du die Aufgabe gelöst. Schritt 1: Zeige die Abbildung ist tatsächlich eine Bijektion Schritt 2: Folgere mit Schritt 1 dass das neutrale Element in S liegt Schritt 3: Folgere mit Schritt 1 und Schritt 2 dass jedes Element aus S ein Inverses in S besitzt. Falls dir noch nicht klar ist warum das überhaupt hilft mach dir nochmals klar was bijektiv bedeutet und auf welche Elemente du es im Speziellen anwenden kannst. Du kannst ja schon einmal anfangen Schritt 1 zu zeigen
19.04.2010, 19:50	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder alternativ: Schritt 1: Überleg dir, warum alle Elemente x von G eine endliche Ordnung ord(x) haben müssen. Schritt 2: Überleg dir, wie man für ein $\begin{eqnarray} a \in U \end{eqnarray}$ eine explizite Darstellung von $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ (als Element von G !) mit Hilfe von ord(a) angeben kann. Schritt 3: Überleg dir, warum $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ dann schon in U liegen muss.
20.04.2010, 13:35	Gutschmaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Danke, die Erklärung mit der Ordnung hat mir geholfen. Die Abbildungsvorschrift hat mich leider verwirrt, jetzt ist mir aber alles klar! LG
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