Halbraum ist offene Teilmenge

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Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »
Halbraum ist offene Teilmenge
Hallo, ich versuche gerade zu zeigen, dass jeder Halbraum



eine offene Teilmenge des ist.

Was ich zeigen will ist, dass mit folgt, dass

Aber die Umgebung ist ja über eine Metrik definiert.

Aber ich habe ja hier nur dieses Skalarprodukt definiert.
Muss ich mir da jetzt die dazugehörige Norm suchen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Solange nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird, darfst du von der euklidischen Metrik



ausgehen. Und da hast du dein (Standard-)Skalarprodukt drinnen.

Im übrigen sind lineare Abbildungen stetig, also auch mit



Und jetzt ist nichts anderes als das Urbild des offenen reellen Intervalls , also

 
 
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...
Also in der Vorlesung hattn wir bisher noch nicht gezeigt, dass lineare Abb. stetig sind.
Gibt es evtl. noch eine andere Möglichkeit das zu zeigen?
Hilft vielleicht die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung? Eher nicht, oder?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bullet1000
Gibt es evtl. noch eine andere Möglichkeit das zu zeigen?


Selbstverständlich. Nämlich einfach der direkte Weg über die Definition von Offenheit, den du auch schon angedeutet hast.

Sei . Dann gilt . Wir definieren . Es gilt
Nun musst du ein finden mit Umgebung .

Dazu schätzen wir unter der Bedinung mal folgenden Term etwas ab, um dann eine Idee zu bekommen, wie man Epsilon wählen kann:


Immer dran denken: Am Ende willst du irgendwas mit > 0 erhalten.
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, so richtig sehe ich es noch nicht. Aber ich versuch es mal.



Bringt mir das schon was?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das war so ziemlich das schlimmste, was du hättest machen können.

Denn die schöne Information, dass zwischen <x,a> und b ein Abstand liegt (Ich habe ihn übrigens als h definiert) geht dadurch verloren.

Viel mehr geht es darum, dass du nur die Summe nach unten abschätzt. So z.B im ersten Schritt:

Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, stimmt natürlich. Der Schritt von mir war blöd. Denn Term zu streichen, von dem man schon weiß, dass er positiv ist.

Bringt es mir etwas die Summe auseinander zu ziehen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Was kommt einem denn fast immer in den Sinn, wenn man den Betrag einer Summe sieht? Da muss es doch eigentlich direkt "klick" machen.
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dreiecksungleichung?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja also. smile
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Also



Aber irgendwie irritiert mich dieses Minus vor der Summe.
Ich muss also zeigen, dass größer ist, als diese Summe.

Bringt es evtl. etwas, wenn ich duch -1 dividiere?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bullet1000
Ich muss also zeigen, dass größer ist, als diese Summe


Erstmal musst du so wählen, dass dies gilt. Dannach kannst du es erst zeigen.

Jetzt geht es halt darum die Summanden, also nach oben abzuschätzen. Irgendwelche Ideen?
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

nochmal dreiecksungleichung?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Jetzt kommt ins Spiel. Was kannst du demnach über aussagen?
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ich weiß ja, dass

Ich denke mal, dass damit die euklidische Norm gemeint ist.
Also müsste eigentlich auch sein
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bullet1000
Na ich weiß ja, dass

Genau.

Zitat:
Original von Bullet1000
Ich denke mal, dass damit die euklidische Norm gemeint ist.

Auch richtig. Das hat Leopold ja schon erwähnt.

Zitat:
Original von Bullet1000
Also müsste eigentlich auch sein

Das stimmt auch. Hast du noch ne Begründung auf Lager?
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na weil bei der euklidischen Norm jede Komponente quadratisch aufsummiert wird. na ja. Also darf keine größer als sein.

Aber was weiß ich jetzt damit?

Muss ich jetzt mein wählen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bullet1000
Na weil bei der euklidischen Norm jede Komponente quadratisch aufsummiert wird. na ja. Also darf keine größer als sein.


Man könnte meinen du hast Angst vor mathematischen Symbolen. Mit solchen schwammigen Beschreibungen wirst du aber nicht weit kommen.

Versuch es doch einfach mal:




Zitat:
Original von Bullet1000
Aber was weiß ich jetzt damit?

Noch nicht viel. Du musst natürlich auch noch abschätzen.
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, genau so meinte ich das auch. war zu faul, sorry.

So, nun abschätzen.
Aber darüber weiß ich ja kaum etwas außer das, was in der Def. von steht
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Zahl ist denn auf jeden Fall größer als jedes ?
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm... Vielleicht das zu Beginn definierte ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Die Antwort liegt so nahe, dass du vor lauter Bäumen den Wald nicht siehst.

Wenn ich dir die Zahlen 4, 11, 17, 35 vorgebe und dir sage, du sollst mir die kleinste Zahl nennen, die größergleich jeder dieser Zahlen ist. Was sagst du dann?
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na 35.

Heißt das jetzt, ich wähle das aus?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, liegt doch nahe Augenzwinkern
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm.. Na OK. Aber das kann ich doch jetzt nicht wirklich quantifizieren, oder?

Ich weiß jetzt



und
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Müssen wir auch nicht Augenzwinkern

Du hast doch jetzt mit

Jetzt fange noch mal ganz vorne an:



und schätze soweit ab, wir wir schon sind.

Dazu muss ich dich aber noch auf einen Fehler hinweisen, den du begangen hast:

Zitat:
Original von Bullet1000
Also




Das ist falsch. Da muss auch beim zweiten Mal ein hin. Beachte das Minus!
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, war mir vorhin schon aufgefallen, danke.
Also mal schauen:

, denn

tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Also ist

.

Jetzt musst du so wählen, dass der letzte Ausdruck größer als 0 ist.

Und danach reflektierst du mal, was wir gemacht haben und warum jetzt plötzlich die Offenheit von H bewiesen ist.
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja. Dann ergibt sich

Und ist auch definitiv postiv, weil

Damit weiß ich, dass ich zu jedem ein positives finden kann, so dass
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bullet1000
Und \epsilon ist auch definitiv postiv, weil


Leider nicht ganz. A kann ja durchaus 0 sein. Aber wenn ist, jedes und dann ist Menge entweder leer (wenn ) oder der ganze (wenn b < 0), also sicher offen. Deswegen kann man ruhig ohne schlechtes Gewissen von A > 0 ausgehen.

Zitat:
Original von Bullet1000
Damit weiß ich, dass ich zu jedem ein positives finden kann, so dass

Mit der Formulierung bin ich nicht einverstanden. Vielmehr muss man doch zu jedem irgendwas finden.
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Geduld. Eine Frage hätte ich noch. Aber evtl. sprengt das jetzt den Rahmen. Denn laut Aufgabenstellung soll ich jetzt noch etwas schlussfolgern können.

Folgern Sie daraus unter der Vewendung der Durchschnittseigenschaft offener Mengen die Offenheit des N-dimensionalen Quaders

für alle

Ich glaube das ist jetzt doch nochmal eine sehr aufwändige Folgerung, oder?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht wirklich aufwändig. Betrachte doch mal exemplarisch den Fall n=2.

Dann ist ein Quader ein Rechteck (bzw. das Innere eines Rechtecks). Und dieses Rechteck ist der Durchschnitt von vier geeigneten Halbräumen.

Edit: Aber verbessere mal dein Latex-Code.
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, also ich weiß ja, dass die Halbräume offene Mengen sind.
Und ich hab auch schon mal bewiesen, dass der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen wieder offen ist.
Also muss ich jetzt meine Halbräume passend wählen, oder?
In diesem Falle entspricht so ein Halbraum immer einer Seitenlänge und sind jeweils die Eckpunkte, oder?

ps. hab es jetzt endlich richtig hingeschrieben im vorletzten Beitrag
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann ich aber jetzt meine Halbräume so wählen, dass deren Vereinigung gerade meinen n-dimensionalen Quader ergibt?
Lilliana Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich hab mir die letzten Stunden diesen beitrag hier mal angeschaut und ich verstehe da Einiges nicht.

Ich verstehe den Ansatz, dass man sich die Verschiedenen Umgebungen betrachtet um zu zeigen, dass die Menge offen ist, da sie ja nur aus inneren Punkten besteht.

Die Umformung und Abschätzungen verstehe ich auch, aber ich verstehe nicht, wie man aus der langen Gleichung



mit folgern kann, das H offen ist. Was erkennt man daraus?
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