Durch Zufallsgröße definierte Wahrscheinlichkeit

19.04.2010, 20:15	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch Zufallsgröße definierte Wahrscheinlichkeit Meine Frage: Hi, ich hab ein paar Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (\Omega, A, P) \end{eqnarray}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine Zufallsgröße auf diesem Raum. Zeigen Sie, dass durch $\begin{eqnarray} P_{X}(B) := P[X^{-1}(B)] := P[\{\omega \|X(\omega) \in B] \forall B \in B(\mathbb R) \end{eqnarray}$ eine Wahrscheinlichkeit auf $\begin{eqnarray} (\mathbb R,B(\mathbb R)) \end{eqnarray}$ definiert wird. Meine Ideen: So, durch die Tatsache, dass es sich bei $\begin{eqnarray} X: \Omega \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ um eine Zufallsgröße auf $\begin{eqnarray} (\Omega, A, P) \end{eqnarray}$ handelt ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Omega - \mathbb R \end{eqnarray}$ messbar. Zudem gilt $\begin{eqnarray} \sigma(X)\subseteq A \end{eqnarray}$ . Die Aufgabe ist nun zu zeigen, dass es sich bei $\begin{eqnarray} (\mathbb R, B(\mathbb R), P_{X}) \end{eqnarray}$ ebenfalls um einen Wahrscheinlichkeitsraum handelt. Ich meine, dass falls nun aus $\begin{eqnarray} B \in B(\mathbb R) \Rightarrow X^{-1}(B) \not\in \sigma(X) \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} P[X^{-1}(B)]=0 \end{eqnarray}$ gilt, da ja schließlich $\begin{eqnarray} \sigma(X)\subseteq A \end{eqnarray}$ , oder nicht? Es macht dann auch Sinn, dass für solch gewählte B auch $\begin{eqnarray} P[X^{-1}(B^{c})]=1 \end{eqnarray}$ gilt, da aus $\begin{eqnarray} X^{-1}(B) \not\in \sigma(X) \Rightarrow X^{-1}(B^{c})=\Omega \in \sigma(X) \end{eqnarray}$ gelten müsste (wodurch die erste Forderung an eine Wahrscheinlichkeit doch eigentlich schon bewiesen sein müsste?!?) Bevor ich hier an dieser Stelle mit meinen Ausführungen jetzt weitermache..Macht es Sinn, auf diese Art und Weise die 3 Axiome einer Wahrscheinlichkeit zu überprüfen, und reichen meine bisherigen Ausführungen um das erste Axiom $\begin{eqnarray} P[\Omega]=1 \end{eqnarray}$ nachzuweisen? Danke schonmal für Antwort

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