Vollständige Induktion

19.04.2010, 22:42

karo182006

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo :-),

sitze schon seit ca. einer Stunde an einer Aufgabe, welche wir mit vollständiger Induktion lösen bzw. zeigen sollen.
Eigentlich kann ich die vollständige Induktion, aber hierbei klappt das irgendwie nicht unglücklich

Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N, n \geq 3:<br /> <br /> \sum\limits_{k=1}^n 1/k+n \leq n-1/n <br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei dem Induktionsschluss müssen ja alle n durch n+1 ersetzt werden. Das würde bedeuten, dass da dann steht

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} 1/k+n+1 \leq n/n+1 \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} 1/k+n+1 = 1/2n+2 + \sum\limits_{k=1}^n 1/k+n+1 \leq 1/2n+2 + n/n+1 \end{eqnarray*}$ ...
<< ist das überhaupt richtig oder muss da stehen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} 1/k+n+1 = 1/2n+2 + \sum\limits_{k=1}^n 1/k+n \leq 1/2n+2 + n-1/n \end{eqnarray*}$ ... ??

So, jetzt bin ich mittlerweile sowas von verwirrt, dass ich es einfach nicht hinkriege.

Danke schon mal im Vorraus!!!
LG

19.04.2010, 23:00

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
Guckst Du hier: matheboard.de/thread.php?threadid=416678

19.04.2010, 23:09

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von karo182006
Zeigen Sie
$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N, n \geq 3: \sum\limits_{k=1}^n 1/k+n \leq n-1/n \end{eqnarray*}$

Die Behauptung kann in dieser Form nicht bewiesen werden, weil sie falsch ist.
(Fehlen Klammern?)

19.04.2010, 23:26

karo182006

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
Oh, dankeschön smile

Habe ich wohl übersehen.

19.04.2010, 23:33

karo182006

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
Hm... so ganz gecheckt habe ich es noch immer nicht. Wieso eine Indexverschiebung??

Welcher der beiden Ansätze wäre denn der richtige?

19.04.2010, 23:35

karo182006

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von wisili

Zitat:

Original von karo182006
Zeigen Sie
$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N, n \geq 3: \sum\limits_{k=1}^n 1/k+n \leq n-1/n \end{eqnarray*}$

Die Behauptung kann in dieser Form nicht bewiesen werden, weil sie falsch ist.
(Fehlen Klammern?)

Wieso falsch?

19.04.2010, 23:38

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von karo182006

Wieso falsch?

Sei n=3, dann ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^3 1/k+3=1/1+1/2+1/3+3=29/6\stackrel{?}\leq 3-1/3 \end{eqnarray*}$

Das ist die Behauptung die bei dir steht, dir fehlt richtige Klammersetzung.

19.04.2010, 23:41

karo182006

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
Aaaachsooo. Ja, die ganzen "/" sollen Bruchstriche sein Big Laugh

Naja, aber welcher der beiden Ansätze wäre denn jetzt der richtige??

19.04.2010, 23:46

karo182006

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
Also 1/(k+n) und das gilt für alle anderen "1/..." Finger1

19.04.2010, 23:46

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

OT @ karo182006: So nebenbei, drei Beiträge in 9 Minuten sollten nicht sein. Wenn du etwas nachträglich hinzufügen möchtest, nutze den "edit"-Button in deinem Post, um diesen nochmal zu ändern.

air

19.04.2010, 23:50

karo182006

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
Also das ist so gemeint:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k+n} \leq \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$

Sorry für die Schreibweise. Kenne mich mit dem ganzen hier noch nicht aus unglücklich

20.04.2010, 00:29

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst also unter der Annahme, dass es so für ein n gilt, nun zeigen, dass dann auch

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k+n+1} \leq \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

gilt. Praktischerweise versuchst du also z.B. eine Indexverschiebung t=k+1:

$\begin{eqnarray*} \sum_{t=2}^{n+2} \frac{1}{(t-1)+n+1} = \sum_{t=2}^{n+2} \frac{1}{t+n} \end{eqnarray*}$

Und jetzt spielst du ein bisschen mit den Summanden um die richtigen Summationsgrenzen zu erhalten, so dass du deine Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.

air

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion

Verwandte Themen