Integral

20.04.2010, 04:57

Nali

Integral

Hallo!!

Ich krieg's irgendwie nicht hin, ein Integral der Form

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{e^{2x}+1} \, dx \end{eqnarray*}$

zu lösen traurig

Kann mir das mal eben jemand erklären?

Danke im Voraus

20.04.2010, 06:57

IfindU

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RE: Integral
Das geht über den Trick:
$\begin{eqnarray*} \frac{1+e^{2x} - e^{2x}}{e^{2x}+1} = \frac{1+e^{2x}}{e^{2x}+1} - \frac{e^{2x}}{e^{2x}+1} \end{eqnarray*}$

20.04.2010, 07:23

Nali

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Hm versteh ich nicht, inwiefern soll der Ansatz weiterhelfen? verwirrt

20.04.2010, 07:45

kiste

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Der fordere Summand kürzen, der hintere die offensichtliche Substitution

20.04.2010, 08:09

Nali

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krieg ich nicht hin...

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{e^{2x}}{e^{2x}+1} \, dx \end{eqnarray*}$

wenn ich den Nenner substituiere komm ich auf

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{u\cdot e^{2x}} \, du \end{eqnarray*}$

20.04.2010, 08:29

klarsoweit

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Zur Erinnerung, so sieht die Substitutionsregel aus

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(g(x)) \cdot g'(x)~dx = \int_{g(a)}^{g(b)}~f(u)~du \end{eqnarray*}$

Und wenn du die richtig anwendest, dann funktioniert das auch.

20.04.2010, 15:32

Nali

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aber was soll ich substituieren? irgendwie scheints so, dass egal was ich substituiere, mir jedes mal ein e^(2x) im Integrand stehenbleibt...

20.04.2010, 17:00

Q-fLaDeN

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Versuch mal

$\begin{eqnarray*} u=e^{2x}+1 \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

20.04.2010, 17:20

Nali

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Hab's, danke smile

20.04.2010, 18:20

Nali

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und wie ginge der Trick um von

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{e^{x}}{e^{2x}+1} \, dx \end{eqnarray*}$

auf die Form des ATAN zu kommen?
$\begin{eqnarray*} ATAN(u)'=\frac{1}{u^2+1} \end{eqnarray*}$

wenn ich e^x substituiere komm ich auf:
$\begin{eqnarray*} u=e^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=\frac{du}{dx}=e^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{e^{x}}du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{u}{{u^2}+1}*\frac{1}{e^{x}} \, du \end{eqnarray*}$

darf man jetzt obwohl man bereits substituiert hat erneut u mit e^x ersetzen? Dann könnte ich ja nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{x}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$ tauschen und schön wegkürzen...

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{u}{({u^2}+1)*u} \, du=\int \! \frac{1}{({u^2}+1)} \, du \end{eqnarray*}$

20.04.2010, 20:11

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Nali
darf man jetzt obwohl man bereits substituiert hat erneut u mit e^x ersetzen? Dann könnte ich ja nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{x}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$ tauschen und schön wegkürzen...

Das darfst du nicht nur, das MUSST du sogar!

21.04.2010, 08:41

klarsoweit

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Zitat:

Wenn man buchstabengetreu die Substitutionsregel anwendet, kann man in solche Zweifelslagen erst gar nicht geraten. Augenzwinkern

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