algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten einer Jordan-Matrix

20.04.2010, 10:14

moinmoin

algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten einer Jordan-Matrix

Moin allerseits!

zu folgender Jordan-Matrix sollen, wie im Titel beschrieben, Eigenwerte und deren Vielfachheiten gefunden werden:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & t & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ & & & t & 1 \\ 0 & &\dots & 0 & t \end{pmatrix} \in K^{n\times n} \end{eqnarray*}$

Nun denke ich mal (da Dreiecksmatrix): $\begin{eqnarray*} \det{(A - \lambda I)} = 0 \Rightarrow (t - \lambda)^n = 0 \Rightarrow \lambda_i = t, 1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$ , also algebraische Vielfachheit des Eigenwertes $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Dann die Eigenvektoren als Lösung des homogenen Gleichungssystems für den Eigenwert $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ & & & 0 & 1 \\ 0 & &\dots & 0 & 0 \end{pmatrix} \vec{x} = \vec{0} \Rightarrow \vec{x} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Eigenraum hat die Dimension $\begin{eqnarray*} \dim \text{Eig} (J_n,t) = 2 \end{eqnarray*}$ , also besitzt der Eigenwert $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ die geometrische Vielfachheit 2.

grober Unfug? Richtig?

20.04.2010, 10:34

klarsoweit

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RE: algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten einer Jordan-Matrix

Zitat:

Original von moinmoin
grober Unfug?

Ja. Wieso sollte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor sein? verwirrt

20.04.2010, 11:10

moinmoin

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Zitat:

Wieso sollte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor sein?

Nun, ich bekomme ja einen Eigenraum, in dem o.g. Vektor eine Dimension darstellt. Ich habe so gedacht: setze ich beliebige $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ein - sagen wir mal $\begin{eqnarray*} \alpha = 5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta = 3 \end{eqnarray*}$ - dann erhalte ich z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dieser Vektor löst das homogene GLS: $\begin{eqnarray*} A\vec{x} = 0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A = J_n(0) \end{eqnarray*}$

20.04.2010, 11:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von moinmoin
dann erhalte ich z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dieser Vektor löst das homogene GLS: $\begin{eqnarray*} A\vec{x} = 0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A = J_n(0) \end{eqnarray*}$

Nein, das tut der Vektor nicht, wie man leicht nachrechnet.

20.04.2010, 11:57

moinmoin

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Zitat:

Nein, das tut der Vektor nicht, wie man leicht nachrechnet.

Hrgs, entschuldige. Das tut er natürlich nicht. Also nur $\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? Und geometrische Vielfachheit 1?

20.04.2010, 12:02

klarsoweit

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Ja.

20.04.2010, 12:04

moinmoin

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Danke

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