Homomorphiesatz

20.04.2010, 13:29

JochXX

Homomorphiesatz

Hallo,

ich will eine geometrische oder "zahlentechnische" oder andersweitig unmittelbar einleuchtende Veranschaulichung bzw. Anwendung des ersten Homomorphiesatzes (egal ob für Gruppen, Ringe, o.a.).

Für Ringe lautet er:
Ist $\begin{eqnarray*} f:A \to B \end{eqnarray*}$ ein Ringhomomorphismus, so ist $\begin{eqnarray*} \mathrm{ker}(f)=f^{-1}(0) \end{eqnarray*}$ ein Ideal in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(A) \subset B \end{eqnarray*}$ ist ein Teilring von $\begin{eqnarray*} B. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ induziert einen Ringisomorphismus, so dass $\begin{eqnarray*} A/\mathrm{ker}(f) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ isomorph ist.

Der Beweis ist mir klar. Insbesondere auch, dass $\begin{eqnarray*} A/\mathrm{ker}(f) \end{eqnarray*}$ wieder ein Ring ist. Was ich aber brauche, ist ein Beispiel für den Homomorphiesatz, wo man ganz konkret die Aussage nachvollziehen kann. Wenn ich so einen Ring $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ habe und einen Ringhomomorphismus, mit dessen Kern ich den Ring $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in Restklassen aufteile, dann bekommt der Ring dadurch eine gewisse Faktorstruktur .... und diese kann mit dem Bild des Homomorphismus' auf eindeutige Art und Weise identifiziert werden. Ich finde die Aussage des Satzes sehr schön; noch schöner wäre es, wenn mir seine Nützlichkeit/Anwendungsmöglichkeit in der Mathematik auch noch gezeigt würde :-)

Bis dann,
JochXX

20.04.2010, 20:16

Reksilat

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RE: Homomorphiesatz
Hi JochXXX,

Zitat:

ich will...

Geiler Anfang für ein Thema unglücklich

Ich habe gerade wenig Zeit für ausführliche Worte, aber ein netter Beweis, in welchem der Homomorphiesatz in der von Dir angegebenen Formulierung angewendet wurde, fällt mir spontan ein: echter Normalteiler

Gruß,
Reksilat.

20.04.2010, 21:04

JochXX

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Hallo Reksilat und alle anderen Foren-Mitglieder!

Danke für deinen Beitrag zu meinem Thema.
Ich weiss, dass "Ich will..." kein guter Anfang ist, aber mir ist nichts Besseres eingefallen und ehrlich gesagt, habe ich darüber gar nicht nachgedacht, dass dieser Anfang möglicherweise stilistisch gesehen unpassend ist. Gut - "Der Ton macht die Musik" könntest du mir nun entgegnen - ich werde das nächste Mal einen höflicheren Ton an den Tag legen. Nun liegt es in der Natur einer Kommunikationsplattform wie dieser, dass Gefühle und vor allem Non-Verbales nicht kommuniziert werden können; sonst wäre es nämlich klar, dass ich ein sehr freundlicher Mensch bin in der Wirklichkeit und keineswegs eine Antwort hier "verlange", sondern nur fragend in die Runde blicke und hoffe, dass mathematisch höher gebildete Menschen als ich mir eine Antwort auf meine Fragen geben können - sofern sie mögen.

Das verlinkte Beispiel werde ich mir genauer angucken. Leider ist das Rätsel aber nicht vollständig aufgelöst und somit gewissermaßen in der Schwebe...

Ich finde, die einzige Anschauung, die der Mensch haben kann, ist letztlich eine geometrische und wenn man für irgendeinen mathematischen Satz ein Bild zur Veranschaulichung machen kann, dann sollte man es auch tun und sich dieses Bild ruhig in sein Skript zeichnen. Leider Gottes ist Anschauung immer so verpönt in Mathematiker-Kreisen. Warum eigentlich?
Da Algebra mit Geometrie sehr stark zusammenhängt, dachte ich, dass es möglich sein müsste, für einen einfachen Satz wie den Homomorphiesatz ein geometrisches Beispiel zu finden, das kann sich meinetwegen im R² oder R³ abspielen. Oder wie gesagt darf es auch ein Zahlen-Beispiel sein.

Jetzt könnt ihr mir natürlich entgegnen: Die Mathematik ist so viel umfassender als die Realität, die uns umgibt, dass ein Beispiel im R² oder R³ die allgemein-abstrake Aussage eines Satzes nie adäquat transportieren kann. Aber dann muss ich entgegnen: Dass soll das Beispiel ja gar nicht leisten, sonst wäre es ja gar kein Beispiel. Es liegt doch in der Natur eines Beispiels, immer nur Teil-Aspekte eines Ganzen wiederzugeben und einen Sachverhalt immer nur in einem eingeschränkten Rahmen zu verdeutlichen, so dass der Sachverhalt dadurch verständlicher und nachvollziehbarer wird.
Stellt euch doch mal vor, der Professor schreibt die Definition eines Ideals eines Ringes an die Tafel und beweist ein paar Sätze dazu - ohne je irgend ein Beispiel für ein Ideal gegeben zu haben. Dann würde euch das Verständnis des mathematischen Begriffes "Ideal" viel schwerer fallen, als wenn der Prof. sagt, dass z. B. $\begin{eqnarray*} 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ im Ring der ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein Ideal ist. Denn dann hat man sofort ein intuitives Verständnis dieses Begriffes gewonnen.

Falls jemand etwas Passendes zu meinem Problem (Homomorphiesatz) gefunden hat, würde ich mich über ein Posting freuen.
Wenn ihr mögt, dann schreibt doch evtl. auch, welcher große Mathematiker diesen Zusammenhang, der im Homomorphiesatz geschildert wird, entdeckt hat, also die Entstehungsgeschichte dieses Satzes und in welchem Jahr er bewiesen wurde. Das würde mich nämlich auch mal interessieren. Und ganz klasse wäre es, wenn ihr mir die Motivation für diesen Satz mitteilen könntet. Denn so eine Idee fällt ja nicht vom Himmel, sondern meistens will man etwas Konkretes berechnen und währenddessen kommt die allgemeine-abstrakte Idee zum Vorschein.

Danke und Ciao,
JochXX

20.04.2010, 21:12

kiste

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Stelle dir beispielsweise einmal einen 3-dimensionalen Vektorraum V mit Basis (v1,v2,v3) vor.
Die Projektion auf die Ebene E erzeugt von (v1,v2) definiert einen Homomorphismus. Der Kern ist sicherlich die Gerade G die von v1 erzeugt wurde.
Der Homomorphiesatz sagt nun also dass V/G isomorph zu E ist.

Wenn du gerade $\begin{eqnarray*} \mathbb Z, 2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ erwähnst:
Du kannst auch einmal den Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \mapsto \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ betrachten wobei F_2 = {0,1} mit der üblichen Modulo-2 Addition und Multiplikation ist.
Der Homomorphiesatz sagt also $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/2\mathbb Z \cong \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ , also insbesondere ein Körper Augenzwinkern

20.04.2010, 21:39

JochXX

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Hallo kiste.

schön, dass du zwei Beispiele für den Homomorphiesatz gefunden hast.

Beim 1. Beispiel weiss ich nicht, wieso der Kern von der Geraden von v1 erzeugt wird und gleichzeitig v1 mit v2 zusammen die Ebene aufspannen. Müsste es nicht heissen, dass die Gerade von v3 erzeugt wird?

Zum 2. Beispiel: Ich dachte bislang immer, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb F_n \end{eqnarray*}$ identisch mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist bzw. nur eine andere Schreibweise ist. Deshalb find ich das irgendwie seltsam...
Aber ich lass mir das mal durch den Kopf gehen.
Danke auch, dass es einfache Beispiele sind - genau das, was ich wollte :-)

LG,
JochXX

20.04.2010, 21:47

kiste

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Zitat:

Original von JochXX
Müsste es nicht heissen, dass die Gerade von v3 erzeugt wird?

Jap, bin durcheinander gekommen Augenzwinkern

Zitat:

Ich dachte bislang immer, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb F_n \end{eqnarray*}$ identisch mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist bzw. nur eine andere Schreibweise ist. Deshalb find ich das irgendwie seltsam...
Aber ich lass mir das mal durch den Kopf gehen.

Nein, für allgemeine n macht F_n überhaupt keinen Sinn. Und dieser Anwendung zeigt gerade dass diese "identisch" sind. Es zeigt eben dass Z/2Z einfach als {0,1} mit modulo-Operationen interpretiert werden kann.
Natürlich ist das etwas konstruiert. Das liegt daran dass eben nach dem Homomorphiesatz alle epimorphen Bilder sich als Quotient schreiben lassen. Also gibt es keine anderen epimorphen Bilder bis auf die Quotientenstrukturen (natürlich alles wieder bis auf Isomorphie)

21.04.2010, 10:49

JochXX

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Guten Morgen,

jetzt ist mir eine Frage gekommen:
Die Elemente von E sind Zweier-Tupel (x1,x2), wobei x1 und x2 reell sind. Aber wie sehen die Elemente von V/G aus ?? Das sind Restklassen, ok... Aber kann man die mal ganz konkret angeben?

LG,
JochXX

21.04.2010, 10:52

kiste

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Die Elemente von E sind Linearkombinationen von v1 und v2.
Eine Basis von V/G ist gegeben durch v1 + G und v2 + G, z.B. aus Dimensionsgründen.
Also sind die Elemente von V/G Linearkombinationen von v1+G und v2+G.
Daran sieht man auch schon die kanonische Isomorphie

21.04.2010, 14:38

JochXX

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Hello again Wink

Am besten ich schreibe das, was ich bisher begriffen habe, in einen sauberen LaTeX-Code.

Ich definiere nun drei Vektoren $\begin{eqnarray*} x, y, z \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , nämlich
$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, y=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, z=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Diese drei Vektoren bilden eine Basis des dreidimensionalen euklidischen Raumes $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Nun betrachte man folgende Abbildung
$\begin{eqnarray*} \phi : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3, \quad \phi(v_1, v_2, v_3)= \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \end{eqnarray*}$

Diese Abbildung realisiert eine Projektion auf die Ebene, die von den Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird.

$\begin{eqnarray*} \phi(v_1, v_2, v_3) = \vec{0} \quad \Leftrightarrow \quad v_1 = v_2 = 0 \\ \end{eqnarray*}$

Nun gilt für den Kern der Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \mathrm{ker}(\phi) = \left \{ \vec{v}=\begin{pmatrix} 0\\0 \\ \alpha \end{pmatrix}\in \mathbb R^3 \ |\ \alpha \in \mathbb R \right \} \end{eqnarray*}$

Somit muss nach dem Homomorphiesatz die folgende Isomorphie richtig sein:

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 / \mathrm{ker}(\phi) \cong \mathrm{im}(\phi) \cong \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \mathrm{im}(\phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ besteht doch nur darin, dass man bei Ersterem die dritte Koordinate dazuschreibt und bei Letzterem lässt man die dritte Koordinate weg; die zweidimensionale Ebene ist ja - analytisch betrachtet - eine Untermannigfaltigkeit des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Einmal fasst man sie als Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ auf und das andere mal fasst man den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ als "Ganzes" auf. Aber die Isomorphie $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 / \mathrm{ker}(\phi) \cong \mathrm{im}(\phi) \end{eqnarray*}$ ist mir wie gesagt noch unklar.

Jetzt schreibst du, $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ sei die Menge der Linearkombinationen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Also diese Menge hier:
$\begin{eqnarray*} E= \left \{ \alpha \begin{pmatrix} 1\\0 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \ | \ \alpha, \beta \in \mathbb R \right \} \end{eqnarray*}$

Okay, das kann ich noch nachvollziehen, aber die Sache mit der Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 / \mathrm{ker}(\phi) \end{eqnarray*}$ ist noch nicht so einfach nachzuvollziehen für mich. Laut deines Beitrages addiert man Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ zum Kern von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ dazu. Warum addiert man sie dazu? Macht man das immer so? Wie sieht der Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 / \mathrm{ker}(\phi) \end{eqnarray*}$ anschaulich-geometrisch aus? Das ist doch nicht das gleiche wie die zweidimensionale Ebene, oder?... aber trotzdem isomorph zu ihr.

Kann man die Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 / \mathrm{ker}(\phi) \end{eqnarray*}$ wie folgt schreiben?

Der erste Basisvektor:

$\begin{eqnarray*} \left (\begin{matrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ) + \mathrm{ker}(\phi ) = \left (\begin{matrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right ) + \left \{ \begin{pmatrix} 0\\0 \\ \alpha \end{pmatrix}\in \mathbb R^3 \ |\ \alpha \in \mathbb R \right \} = \left \{ \begin{pmatrix} 1\\0 \\ \alpha \end{pmatrix}\in \mathbb R^3 \ |\ \alpha \in \mathbb R \right \} \end{eqnarray*}$

Und der zweite Basisvektor:
$\begin{eqnarray*} \left (\begin{matrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right ) + \mathrm{ker}(\phi ) = \left (\begin{matrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right ) + \left \{ \begin{pmatrix} 0\\0 \\ \alpha \end{pmatrix}\in \mathbb R^3 \ |\ \alpha \in \mathbb R \right \} = \left \{ \begin{pmatrix} 0\\1 \\ \alpha \end{pmatrix}\in \mathbb R^3 \ |\ \alpha \in \mathbb R \right \} \end{eqnarray*}$

Nun hast du geschrieben, dass man, um die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 / \mathrm{ker}(\phi) \end{eqnarray*}$ anzugeben, wiederum Linearkombinationen aus den obigen Basisvektoren bilden muss. Wie kann man diese Menge denn explizit angeben?

Vielen Dank im Voraus!

JochXX

21.04.2010, 15:41

kiste

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Ich bin momentan am lernen und werde deswegen nicht so schön lange Beiträge wie du schreiben können. Das mathematische war alles richtig. Ich gehe einmal auf die wesentlichen Fragen ein:

Zitat:

Original von JochXXWarum addiert man sie dazu? Macht man das immer so? Wie sieht der Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 / \mathrm{ker}(\phi) \end{eqnarray*}$ anschaulich-geometrisch aus? Das ist doch nicht das gleiche wie die zweidimensionale Ebene, oder?... aber trotzdem isomorph zu ihr.

Man addiert sie dazu weil so der Faktorraum überhaupt erst definiert ist. Dieser besteht doch aus Nebenklassen, und eine Nebenklasse kann man darstellen als Vektor + Raum der faktorisiert wird.

Der Raum hat keine anschauliche Intepretation, immerhin sind in diesen Raum jetzt die Elemente keine Punkte mehr, sondern Punktmengen. Aber wenn du mich festnageln willst, dann kannst du dir eben diese Punktmengen als Punkte vorstellen die aussehen wie eine Gerade Big Laugh

Ist dann ziemlich ähnlich zu dem was man sich in der projektiven Geometrie vorstellt, aber da kenn ich mich nicht sehr aus

Zitat:

Nun hast du geschrieben, dass man, um die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 / \mathrm{ker}(\phi) \end{eqnarray*}$ anzugeben, wiederum Linearkombinationen aus den obigen Basisvektoren bilden muss. Wie kann man diese Menge denn explizit angeben?

Naja nehme deine Mengendarstellung von E und ersetze einfach die Basisvektoren, E hast du ja auch als Menge von Linearkombinationen geschrieben.

21.04.2010, 17:41

Elvis

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@JochXX

Deine Frage nach einer anschaulichen Version der Homomorphiesätze (z.B. für Gruppen, Ringe, Vektorräume) ist durchaus verständlich, da algebraische Strukturen naturgemäß unanschaulich sind.

Mir hat es immer sehr geholfen, die zugehörigen "Abbildungs-Diagramme" zu betrachten, bestehend aus
1. Definitionsraum X mit ker(phi) und 1 (links)
2. Zielraum Y mit Bild(phi) und 1 (rechts)
3. Homomorphismus phi (von X nach phi(X) und von ker(phi) nach 1)

und gleichzeitig das "kommutative Diagramm", bestehend aus
1. Definitionsraum X, phi, Zielraum Y (oben, von links nach rechts)
2. Definitionsraum X, Projektion pi, Faktorraum X/ker(phi) (links, von oben nach unten)
3. Faktorraum X/ker(phi), phi-quer, Zielraum Y (rechts, von unten nach oben).

Diese "anschaulichen" Darstellungen der beteiligten Abbildungen sind in fast jedem Algebrabuch vorhanden.

21.04.2010, 18:42

JochXX

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@Elvis:
Mit dem kommutativen Diagramm meinst du sicherlich das Folgende:

[attach]14362[/attach]

$\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist hier die kanonische Projektion.

Ja, so etwas ist mir bekannt und bringt auf jeden Fall mehr Verständnis.

Was du aber mit "Abbildungs-Diagramme" meinst, weiß ich leider trotz deiner Erklärung nicht...

21.04.2010, 18:44

JochXX

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Edit: Das zweite Bild ist natürlich falsch, weil ein Pfeil falsch herum eingezeichnet ist.

22.04.2010, 21:28

Elvis

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Sorry, hänge noch in New York fest. Wenn ich am Wochende wieder zu Hause bin, zeichne ich ein Diagramm, scanne es ein und erkläre, was man daraus lernen kann.

25.04.2010, 14:28

Elvis

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Helmut Hasse hat hervorragende Visualisierungen erfunden ( siehe Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Hasse-Diagramm ).
Um Homomorphiesätze zu visualisieren, kann man ein Diagramm benutzen, das die für diesen Zweck wesentlichen Strukturen enthält; dadurch wird veranschaulicht, dass gilt $\begin{eqnarray*} X/ker(\phi) \cong Im(\phi) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} X/ker(\phi) \end{eqnarray*}$ wird isomorph, insbesondere bijekiv auf $\begin{eqnarray*} Im(\phi) \end{eqnarray*}$ abgebildet.
$\begin{eqnarray*} ker(\phi) \end{eqnarray*}$ ist in der Faktormenge das neutrale Element, dem steht das neutrale Element $\begin{eqnarray*} 1\in Im(\phi)\subset Y \end{eqnarray*}$ gegenüber.

$\begin{eqnarray*} X/ker(\phi) \end{eqnarray*}$ hat dieselbe Struktur wie $\begin{eqnarray*} Im(\phi) \end{eqnarray*}$ , also sind die (Untergruppen- / Teilring- / Untervektorraum- / ...-) Verbände isomorph, d.h. zu jeder Teilstruktur von $\begin{eqnarray*} X/ker(\phi) \end{eqnarray*}$ gehört eine entsprechende Teilstruktur von $\begin{eqnarray*} Im(\phi) \end{eqnarray*}$ und umgekehrt.

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