Beweis vo einer Identität

26.10.2006, 14:19

Maria!!!

Beweis vo einer Identität

HAllo,
ich hätte erst mal eine ganz kurze Frage zur folgenden Aufgabe:

A,B und C seien Mengen. Beweisen Sie die folgenden Identitäten:

a) A \ (B $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ C) = (A\B) umgedrehtes u (A \ C) [/latex]

b) $\begin{eqnarray*} A \ (B \ C) = (A \ B) \bigcup (A (umgedrehtes u) C) \end{eqnarray*}$

Zur info: "umgedrehtes u" soll ja die Schnittmenge sein. Und dieses $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ die Vereinigungsmenge.

Nun miene Frage: Kann man die beiden Beweise mit einer Wahrheitstafel machen? Ist das möglich?

26.10.2006, 14:57

Sunwater

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solche Mengenbeweise machst du immer wie folgt:

wenn du zeigen sollst, dass $\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$

dann musst du zeigen, dass jedes Element aus A auch in B liegt.

nimm dir also $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ und zeige, dass es auch in B liegen muss.

Dann gilt ja schonmal: $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$

als nächstes zeigst du, dass jedes Element von B in A liegt.

Also gilt dann: $\begin{eqnarray*} B \subset A \end{eqnarray*}$

und insgesamt gilt somit: $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$

27.10.2006, 22:38

Maria!!!

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RE: Beweis vo einer Identität
Hallöchen :-)

also, ichglaube zur hhälfte habe ich die aufgae gelöst. Könntet ihr bitte gucken, obich den ersten beweis richtig gemacht habe? und wie man den zweitenbeweis vervollständigen könnte? bzw. weiter führen könnte?

Also, Beweis zu der a:

a) A \ (B $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ C) = (A\B) umgedrehtes u (A \ C) [/latex]

Beweis:

$\begin{eqnarray*} x \in A ohne (B \cup C ) \Rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kein element in $\begin{eqnarray*} (B \cup C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$ und ( $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kein element in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kein Element in $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in A ohne B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in A ohne C \Rightarrow x \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (A ohne B) \cap (A ohne C) \end{eqnarray*}$

und? Kann man den Beweis so durchgehen lassen?

nun zu b:

b) $\begin{eqnarray*} A \ (B \ C) = (A \ B) \bigcup (A (umgedrehtes u) C) \end{eqnarray*}$

Ich bin soweit gekommen:

$\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ \ (B \ C) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kein Element in (B\C)

nun wollt ich schrieben, dass daraus folgt das:

$\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und (x kein Element in B und x kein Element in C)
dies ist aber glaube ich falsch. weil ja auf der anderen seite der gleichung es heißt, dass $\begin{eqnarray*} A \cap C \end{eqnarray*}$ ist. Und das bedeutet ja wiederum, dass x ein Element in C sein muss.
Wie kann ich jetzt am besten aus diesem dilemmer rauskommen?
habt ihr eine idee?

29.10.2006, 09:32

Maria!!!

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RE: Beweis vo einer Identität

Zitat:

Original von Maria!!!

$\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und (x kein Element in B und x kein Element in C)

oder geht das doch?

30.10.2006, 10:06

Maria!!!

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RE: Beweis vo einer Identität
Hallo, ich habe vresucht, von dem beweis zu b) den folgenden Teil zu beweisne. Weiß aber nicht, ob das so geht:

$\begin{eqnarray*} (A ohne B) \bigcup (A \cap C) \end{eqnarray*}$
daraus folgt $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und x kein Element in B oder $\begin{eqnarray*} x \in (A \cap C) \end{eqnarray*}$

könnte das für die eine richtung schon als beweis zählen?

und die andere richtung macht mir immer noch gigantisch sorgen. denn wie soll ich nur sagen, dass x ein Element in A ist jedoch kein Element in B ohne C ist, wenn doch aber x ein element in C sein kann?

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