Raumwinkel einer Ellipse

20.04.2010, 17:42	Passepartout	Auf diesen Beitrag antworten »
Raumwinkel einer Ellipse Hallo liebe Matheboard-Benutzer, derzeit beschäftige ich mich ein wenig mit dem Raumwinkel und komme bei folgendem Problem nicht so recht weiter. [attach]14336[/attach] Ich habe eine Ellipse E mit den Halbachsen a und b, a > b, dessen Brennpunkt $\begin{eqnarray} B = (x_b, 0) \end{eqnarray}$ im Ursprung liege. $\begin{eqnarray} E(x) = b \sqrt{1-\left(\frac{x+x_b}{a}-1\right)} \end{eqnarray}$ Ich möchte gerne den Raumwinkel berechnen, den ich erreiche, wenn ich zwei Geraden unter dem Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zum Schnitt mit der Ellipse bringen (rote Fläche). Der Raumwinkel ist definiert als $\begin{eqnarray} \Omega = \frac{S}{r^2} \end{eqnarray}$ . Meine Idee war vom Flächenelement auszugehen und anschließend über den entsprechenden Bereich der x-Achse zu integrieren. $\begin{eqnarray} dS = 2 \pi x dx \end{eqnarray}$ Damit ergibt sich für den Raumwinkel $\begin{eqnarray} \Omega &=& \int_{x_u}^{x_o} \frac{dS}{r^2} \\ &=& 2 \pi \int_{x_u}^{x_o} \frac{x dx}{x^2 + E^2(x)} \end{eqnarray}$ Dieses Integral habe ich nun von Mathematica auswerten lassen. Für den Fall eines Kreises ergeben sich auch Werte, die ich nachvollziehen kann. Für a=b=1 erhalte ich $\begin{eqnarray} - \int_{-x_b}^{0} \frac{dS}{r^2} = \int_{0}^{a} \frac{dS}{r^2} = \pi \end{eqnarray}$ Aber schon für a=2, b=1 erhalte ich $\begin{eqnarray} \int_{-x_b}^{0} \frac{dS}{r^2} = -2.02 \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} \int_{0}^{a} \frac{dS}{r^2} = 6.0325 \end{eqnarray}$ Eigentlich sollte doch der gesamt überstrichene Winkel auch hier jeweils $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ sein, oder nicht? Für Hilfe bin ich dankbar :-) Schöne Grüße, Passepartout
21.04.2010, 10:09	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Raumwinkel einer Ellipse Kleine Bitte als Anmerkung: PDFs sind als Dateianhänge erlaubt, aber wenn der Inhalt nur eine Skizze ist, ist es sinnvoller, diese als JPG- oder PNG-Datei hochzuladen. Diese sind nämlich gleich als Vorschau zu sehen. Also so: [attach]14348[/attach]

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