Diagonalisierung und Potenzen

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Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierung und Potenzen
Hallo!

Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem, da sie bisher nicht in unserer Vorlesung erklärt wurde:

Gegeben sei die Matrix .
a) Diagonalisiere A.
b) Finde eine Matrix B mit B^3 = A.

a) war jetzt kein Problem zu berechnen. Bei b) habe ich allerdings keine Ahnung, wie genau man dort vorgeht. Ich vermute, dass es ja mit der Diagonalmatrix zusammenhängen muss. Die habe ich berechnet. Aber wie genau kann ich das B berechnen? Habt ihr einen Tipp?

Danke schonmal! smile

Liebe Grüße
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalisierung und Potenzen
Hi Kaninchen,

Die Aufgabe a) ist nicht umsonst gestellt worden. Schau Dir mal die Diagonalmatrix genauer an und versuche den Zusammenhang zu b) zu entdecken. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalisierung und Potenzen
1. Wie sieht A darstellt durch die Diagonalisierung aus?

2. Wir wollen hier ja so was machen wie die "dritte Wurzel aus A" ziehen.

3. Wie würdest du das anstellen, wenn A eine Diagonalmatrix wäre?
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Aussehen tut die Diagonalmatrix so:


Hmm...kann ich eventuell Nutzen aus der Formel A = SDS^-1 ziehen?
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalisierung und Potenzen
Zitat:


3. Wie würdest du das anstellen, wenn A eine Diagonalmatrix wäre?


Bei der Diagonalmatrix kann ich ja die Diagonaleinträge als Wurzeln schreiben. Hmm...aber hier? Oder sollte ich die Summe betrachten zweier Diagonalmatrizen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kaninchen
Aussehen tut die Diagonalmatrix so:


Hmm...kann ich eventuell Nutzen aus der Formel A = SDS^-1 ziehen?


Diese Darstellung wollte ich sehen. Nun ist 8 ja eine seht schöne Zahl, gerade mit Blick auf ()³. Und ein beliebter Trick ist es in so Rechnungen eine 1 (hier eben eine Einheitsmatrix) einzuschieben.
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn ich D betrachte, und davon die dritte Wurzel ziehe - dann habe ich 2 und -2 auf der Diagonalen. Aber irgendwie muss ich ja noch das S mit einbringen, da finde ich es aber schwer, irgendwie auf eine dritte Wurzel zu kommen unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

du hast meinen zweiten Tip gar nicht benutzt.
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich weiß nicht recht, wo genau - wenn ich multipliziere mit dem D, passiert nichts. Beim addieren (aufspalten) hilft es mir bisher auch nicht unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und ein beliebter Trick ist es in so Rechnungen eine 1 (hier eben eine Einheitsmatrix) einzuschieben.


Schreib D um als Potenz ()³ einer anderen Matrix.Die Potenz dann noch am besten aus. Dann ist doch klar, wie man da eine Einheitsmatrix einschieben muss. Dann ist die Aufgabe auch schon fertig. Den Schritt musst du nun aber selbst tun. Augenzwinkern
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Danke...jetzt hat es endlich geklappt! smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Und so macht es doch mehr Spass, wenn man selbst drauf kommt. Augenzwinkern
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Glückwunsch ans Kaninchen und ans Binchen für die erfolgreich gelöste Aufgabe! Prost

Gruß,
Reksilat.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Tierisch gut. Big Laugh
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