Exponentialform angeben?

20.04.2010, 20:54

bandchef

Exponentialform angeben?

Hi Leute!

Ich hab folgende Aufgaben gegeben die ich von der gegebenen Normalform in die Exponentialform umwandeln soll. Könnt ihr mir helfen damit ich weiß was ich tun muss? Von Exponentialform in Normalform weiß ich; da muss man die Euler'sche Formel anwenden. Aber den umgekehrten Weg bekomm ich nicht gebacken...

$\begin{eqnarray*} j^3 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}*j \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

20.04.2010, 21:00

Dustin

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Aber wie man den Betrag einer komplexen Zahl berechnet weißt du doch? Und den Winkel mit $\begin{eqnarray*} tan \phi=... \end{eqnarray*}$

LG

20.04.2010, 21:03

bandchef

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das heißt ich muss den Betrag meiner komplexen zahlen berechnen und was muss ich dann genau mit dem winkel $\begin{eqnarray*} tan(\phi) \end{eqnarray*}$ machen?

20.04.2010, 21:05

Dustin

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Schreib doch mal die Eulerformel hin!

20.04.2010, 21:13

bandchef

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die Eulerrelation hab ich hier:

$\begin{eqnarray*} e^{j*\phi}=cos(\phi)+j*sin{\phi} \end{eqnarray*}$

PS: Ich hab jetzt den Betrag von j^3 gebildet; da kommt einfach |z|=1 raus

20.04.2010, 22:23

Dustin

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gut. wenn also x der realteil und y der imaginärteil ist, steht da:

$\begin{eqnarray*} x=r\cdot cos\phi<br /> y=r\cdot sin\phi \end{eqnarray*}$
ja?

Okay. Wenn man jetzt von der Normal- ind die Exponentialform will, brauch t man r und PHI. Und das PHI bekommst du, indem du die zweite Gleichung durch die erste teilst.
r ist der Betrag der komplexen Zahl, das weißt du ja, wie man den berechnet?!

21.04.2010, 10:31

bandchef

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Also wenn ich nun in

$\begin{eqnarray*} x=r\cdot cos\phi<br /> y=r\cdot sin\phi \end{eqnarray*}$

den Betrag von meiner komplexen Zahl - in meinem Fall 1 - einsetze, dann bekomm ich das hier:

$\begin{eqnarray*} x=cos\phi<br /> y=sin\phi \end{eqnarray*}$

Was ich noch nicht ganz verstehe ist, wie ich jetzt die erste durch die zweite Gleichun teilen soll. Das würde ja dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x=cos\phi}{y=sin\phi} \end{eqnarray*}$

21.04.2010, 10:38

bandchef

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Was dem was ich hier tun soll noch recht nahe kommt ist vielleicht die Umrechnung von Normalform in Polardarstellung. Das steht auch in meinem Skript. Komm ich damit weiter?

21.04.2010, 11:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Was ich noch nicht ganz verstehe ist, wie ich jetzt die erste durch die zweite Gleichun teilen soll. Das würde ja dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x=cos\phi}{y=sin\phi} \end{eqnarray*}$

Was ist denn das für eine Schreibweise? verwirrt

Außerdem solltest du die 2. Gleichung durch die erste dividieren.

Zitat:

Original von bandchef
Was dem was ich hier tun soll noch recht nahe kommt ist vielleicht die Umrechnung von Normalform in Polardarstellung. Das steht auch in meinem Skript. Komm ich damit weiter?

Das ist anzunehmen. Aber ich weiß natürlich nicht, was in deinem Skript steht. Augenzwinkern

21.04.2010, 11:33

bandchef

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Hey Leute!

Ich glaub ich habs jetzt verstanden.

Ich hab jetzt mal zur zweiten Aufgabe, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}*j \end{eqnarray*}$ gewechselt.

Ich bin da so vorgegangen:

Ich hab ja diese Form hier gegeben $\begin{eqnarray*} z=x+j*y \end{eqnarray*}$ und soll in $\begin{eqnarray*} z=|z|*e^{j*\Phi} \end{eqnarray*}$ umgewandelt werden.

Ich hab nun |z|=1 ausgerechnet.

Danach über meine Zeichnung entdeckt, dass der Winkel \phi der tan(y/x) ist. Das hab ich dann im Bogenmaß ausgerechnet.

Mein Ergebnis: $\begin{eqnarray*} z=1*e^{j*\frac{\pi}{3}} \end{eqnarray*}$

Nun aber meine Frage:

Wenn ich nun die Aufgabe $\begin{eqnarray*} j^3 \end{eqnarray*}$ in die Exponentialform umrechnen will, dann kann man ja schon mal so ansetzen: $\begin{eqnarray*} j^3=-j=0+(-1*j) \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich nun diese Normalform in meine Zeichnung eintrage, dann bekomme ich ja als Realteil Null was bedeuten würde, ich müsste durch Null dividieren tan(y/x) (y=Imaginärteil; x=Realteil), wenn ich den Winkel \phi über den Tanges ausrechnen will...

Das verstehe ich nicht ganz...

21.04.2010, 11:46

klarsoweit

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Natürlich kann man diese tolle tan-Formel nur verwenden, wenn der Realteil ungleich Null ist. Obendrein muß man dann noch aufpassen, in welchem Quadranten die komplexe Zahl liegt. Wenn der Realteil Null ist, gibt es für den Winkel nur 2 Möglichkeiten. Welche davon zutrifft, hängt vom Vorzeichen des Imaginärteils ab.

21.04.2010, 11:57

bandchef

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Kannst du mir jetzt vielleicht noch sagen, ob das Ergebnis der oben vorgeführten Rechnung korrekt ist? Genauso hab ich mich jetzt an die Lösung der dritten Aufgabe gewagt.

Mein Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \Phi=\frac{7}{4}\pi \end{eqnarray*}$

Ich denke, hier hat man genau das Problem was du gerade beschrieben hast. Hier liegt der Imaginärteil im zweiten Quadranten liegt; das doch jetzt wiederum heißt, ich muss $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ hinzuaddieren, oder?

PS: Die Lösung für die erste Aufgabe: da mein Imaginärteil -j ist befindet er sich doch unterhalb der Realachse und genau zwischen drittem und vierten Quadranten, weshalb der Winkel $\begin{eqnarray*} \Phi=\frac{3}{2}\Pi \end{eqnarray*}$ beträgt, oder?

21.04.2010, 12:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Kannst du mir jetzt vielleicht noch sagen, ob das Ergebnis der oben vorgeführten Rechnung korrekt ist?

Ja, das Ergebnis der 2. Aufgabe stimmt (sonst hätte ich protestiert). smile

Zitat:

Original von bandchef
Genauso hab ich mich jetzt an die Lösung der dritten Aufgabe gewagt.

Mein Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \Phi=\frac{7}{4}\pi \end{eqnarray*}$

Ich denke, hier hat man genau das Problem was du gerade beschrieben hast. Hier liegt der Imaginärteil im zweiten Quadranten liegt; das doch jetzt wiederum heißt, ich muss $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ hinzuaddieren, oder?

Nicht der Imaginärteil, sondern die komplexe Zahl liegt im zweiten Quadranten. Und man addiert auf den Winkel nur ein pi. Insofern ist dein Ergebnis falsch.

Zitat:

Original von bandchef
PS: Die Lösung für die erste Aufgabe: da mein Imaginärteil -j ist befindet er sich doch unterhalb der Realachse und genau zwischen drittem und vierten Quadranten, weshalb der Winkel $\begin{eqnarray*} \Phi=\frac{3}{2}\Pi \end{eqnarray*}$ beträgt, oder?

Ja.

21.04.2010, 12:11

bandchef

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Ok Danke, ich denke ich habs jetzt kapiert.

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