Topologie, zusammenhängende metrische Räume |
| 21.04.2010, 11:11 | Gasst | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Topologie, zusammenhängende metrische Räume Die Menge X := die mit der euklidischen Metrik des zu einem metrischen Raum wird, ist ein Beispiel für einen zusammenhängenden, aber nicht wegzusammenhängenden Raum. Wie beweise ich das? Meine Ideen: Zum Beiweis, dass X zusammenhängend ist: Die Menge X versehen mit der euklidischen Metrik ist zusammenhängend, wenn es keine Teilmengen A,B von X gibt für die gilt: A,B sind nicht leer, A vereinigt B ist ganz X, A geschnitten B ist leer und A und B sind offen oder abgeschlossen. Nach Definition von X habe ich jedoch zwei Teilmengen von X, die diese Bedingungen erfüllen, mit Ausnahme, dass A offen und abgeschlossen ist, sodass zwei solche Teilmengen nicht existieren und X zusammenhängend ist. Reicht das für einen Beweis? |
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| 21.04.2010, 11:21 | sergej88 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein das reicht nicht, Nach Definition von X habe ich jedoch zwei Teilmengen von X, die diese Bedingungen erfüllen heisst das, dass du 2 abg. bzw. offene Mengen hast, welche disjunkt sind und ganz X in der Vereinigung ergeben? Wenn ja, dann waere X jedoch nicht zusammenhaengend... Du musst zeigen, dass es solche garnicht geben kann. Also sich z.B. 2 disjunkte, offene bzw. abg. Mengen nehmen die ganz X aufspannen und zeigen, dass notwendiger Weise eine von beiden leer sein muss. alternativ: der Abschluss einer zshg. Menge ist wieder zshg. Zeige, dass der Abschluss des Graphen von sin(1/x) ganz X ergibt. Da sin(1/x) stetig ist, ist der Graph zshg. damit waere man im groben fertig. mfg. |
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| 21.04.2010, 11:56 | Gasst | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jetzt geht mir ein Licht auf, danke für den Tipp! mfg |
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