Vollständige Induktion

21.04.2010, 11:55	Mausbär	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Meine Frage: Hallo, ich hoffe das mir jmd. bei der folgenden Aufgabe helfen kann. Ich komm beim Induktionsschluss nicht weiter. Die Aufgabe lautet: n-te Wurzel von (a1a2...an) <= (1/n)(a1+a2+...+an) = Induktionsvorraussetzung I.Behauptung: n=> n+1 n+1-te Wurzel von (a1a2...a(n+1)) <= (1/(n+1))(a1+a2+...+a(n+1)) Jetzt wurde uns gesagt, dass wir die linke Seite der I.B. zur rechten Seite der I.V. umformen sollen. Meine Ideen: Meine Idee war, die linke Seite der I.B. zur linken Seite der I.V. umzuformen, dann würde sich die rechte Seite der I.V. automatisch ergeben. Jetzt habe ich das Problem, dass ich die n+1-te Wurzel von (a1a2...a(n+1)) zur n-ten Wurzel von (a1a2...an) umformen muss und nicht weiß, wie ich das "+1" wegbekomme. Kann mir da jmd. helfen? Ich habe den Tip bekommen, es mit der Bernoulli-Ungleichung zu probieren, aber das bekomme ich nicht hin. Bin für jeden Tipp oder Lösungsvorschlag dankbar!
21.04.2010, 13:46	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Eher ein schwieriger Fall:Beweis
21.04.2010, 18:25	Mausbär	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das haben wir auch schon gemerkt. Diese Seite haben wir auch gefunden, aber haben Probleme, diese Lösung auf unsere Aufgabe zu übertragen, bzw. ihn wirklich zu verstehen, so dass wir ihn auch erklären können. Kannst du mir da helfen?
21.04.2010, 21:17	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie weit ich zeitlich assistieren kann, wird sich zeigen. Zunächst einfach mal ein paar Gedanken. Zu übertragen gibt es nichts. Der genannte Beweis trifft genau deinen zu beweisenden Satz. Das Besondere ist, dass es kein «normaler» Induktionsbeweis ist, sondern eine Erweiterung jener Technik. Statt wie «normal» den Satz für n=1 und dann mit dem Induktionsschritt sukzessive für n = 2, 3, 4, 5, ... zu beweisen, wird er mit n=2 verankert und dann mit dem Induktionsschritt sukzessive für n = 4, 8, 16, 32, ... bewiesen. (Eigentlich ist das ganz «normale» Induktion nach m, wobei n = 2^m.) Die Besonderheit ist nun, dass noch die «Lücken» für n zwischen 2 und 4, 4 und 8, 8 und 16, ... gestopft werden müssen. Man kann das hier «rückwärts» so machen: Weil der Satz unterdesssen (induktiv) beispielsweise für n=32 bewiesen ist (und zwar für JEDE zulässige Sequenz x1, x2, ...., x32), versucht man x32 zu entfernen und ihn so für n=31 zu beweisen, und dann analog für n=30, n=29, ... Die Entfernung von x32 kann aber nur gelingen, wenn man dieses Glied mit Hinterlist konstruiert und zwar aus den Vorgängern x1, x2, ...., x31. Das zeigt der Beweis sehr gut, zugegebenermassen sehr straff, aber lesbar. Wenn du Fragen hast, wird schon jemand antworten, auch wenn ich nicht online bin.
22.04.2010, 19:45	Chrissi22	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Hallo! Ich bin grad an der gleichen Aufgabe und weiß nicht, ob das, was ich bisher gemacht hab, richtig ist... Also ich hab versucht die Ungleichung so umzustellen, dass auf der linken Seite wieder unter anderem die linke Seite vom I.A. steht n+1-te Wurzel von (a1a2...a(n+1)) <= (1/(n+1))(a1+a2+...+a(n+1)) (a1a2...a(n+1)) <= (1/(n+1))(a1+a2+...+a(n+1))^(n+1) (a1a2...a(n+1)) <= (1/(n+1))(a1+a2+...+a(n+1))^(n)(a1+a2+...+a(n+1)) n-te Wurzel von (a1a2...a(n+1)) <= (1/(n+1))(a1+a2+...+a(n+1)) n-te Wurzel von(a1+a2+...+a(n+1)) n-te Wurzel von (a1a2...an)n-te Wurzel von a(n+1) <= (1/(n+1))(a1+a2+...+a(n+1)) n-te Wurzel von(a1+a2+...+a(n+1)) n-te Wurzel von (a1a2...an)n-te Wurzel von ( a(n+1)/(a1+a2+...+a(n+1)) <= (1/(n+1))*(a1+a2+...+a(n+1)) Ist das bisher so richtig??? Und wenn ja wie kann ich jetzt weitermachen? Ich weiß gar nicht, ob mein Ansatz überhaupt richtig ist! HILFEEE! würd mich sehr über ein paar tipps freuen!
22.04.2010, 20:05	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion @Chrissi Hast du den obengenannten Link konsultiert? Ich will nicht parallel dazu noch eine weitere Beweisführung mitlesen.
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22.04.2010, 20:12	Chrissi22	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Ja...aber ist das die einzige Art das zu lösen? Ich weiß nicht, ob wir das mit diesem Vorwärtsschritt und Rückwärtsschritt machen sollen...ich guck mir das nochmal genauer an...aber ist das, was ich gemacht hab komplett falsch?
03.05.2010, 10:07	Mausbär	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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