Gleichzeitiges Diagonalisieren von Matrizen

21.04.2010, 13:28	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichzeitiges Diagonalisieren von Matrizen Hallo! Bei einer Aufgabe verzweifele ich gerade leider: Diagonalisiere die Matrizen $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 9 & 16 & -4&-4 \\ -4 & -7 &2&2 \\ 7&14&-4&-6& \\ -3&-6&3&53\end{pmatrix} , B =\begin{pmatrix} 3&2&-4&-4 \\ -1&0&2&2 \\ 3&6&-2&-4 \\ -1&-2&2&4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Hinweis: Beide Matrizen haben den Eigenwert 1. Also bin ich da wie folgt drangegangen...ich habe die Eigenräume für den Eigenwert 1 berechnet. Normalerweise müsste ich dann ja auf ein S kommen, sodass $\begin{eqnarray} S^{-1} AS = D \end{eqnarray}$ . Das klappt aber irgendwie nicht. (Das S gilt dann ja auch für B, $\begin{eqnarray} S^{-1} BS = D' \end{eqnarray}$ .) Zudem weiß ich, dass A und B kommutieren. Die Eigenräume lauten wie folgt: Bei A: $\begin{eqnarray} Eig(1) = \left\{ s\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ 0\\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\\frac{1}{10} \\ 1 \\ -\frac{3}{5} \end{pmatrix} \| s,t \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray}$ und bei B: $\begin{eqnarray} Eig(1) = \left\{ s\begin{pmatrix}-\frac{1}{3} \\ 1 \\ -\frac{2}{3} \\ 1\end{pmatrix} \| s \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ Habt ihr vielleicht einen Tipp für mich? Ich bekomme einfach kein S daraus Oder seht ihr einen Fehler, den ich gemacht habe? Bin für jeden Tipp wie immer sehr dankbar. Lieben Gruß
21.04.2010, 15:54	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja wie wärs wenn du restlichen Eigenwerte und Eigenvektoren auch berechnest?
21.04.2010, 16:08	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber es gibt doch nur die 1 als Eigenwert...wenn ich das charakteristische Polynom berechne und die Determinante dafür berechnen will, erhalte ich in A und B Nullzeilen, woraus folgt dass det = 0. Oder seh ich das falsch?
21.04.2010, 16:10	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Gäbe es nur die 1 als EW dann wäre die Matrix nicht diagonalisierbar! Du hast sicherlich irgendwo einen Rechenfehler.
21.04.2010, 16:12	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Hinweis stand ja sogar auf dem Übungsblatt, dass beide den EW 1 haben..hm.
21.04.2010, 16:14	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, damit du nicht ewig eine Nullstelle raten musst beim Finden der Nullstellen des char. Polynoms
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