Newtonsche Gleichung:

26.10.2006, 15:31

ratskrone

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Newtonsche Gleichung:

Ist $\begin{eqnarray*} f:I\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig, $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ eine Lösung von $\begin{eqnarray*} x''=f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -V \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} E=\frac{1}{2}(x')^2+V(x) \end{eqnarray*}$ konstant (Energieerhaltung). Somit erfüllt $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ die separierbare Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}=\sqrt{2(E-V(x))} \end{eqnarray*}$ für die $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} x'(t)\geq 0 \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt}=-\sqrt{2(E-V(x))} \end{eqnarray*}$ für die $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x'(t)\leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Lösen sie mit Hilfe der beschriebenen Methode das AWP: $\begin{eqnarray*} r''=-\frac{\alpha}{r^2}\ (\alpha>0),r(0)=0,r'(0)=v_0>0 \end{eqnarray*}$ für den Fall:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}v_0^2-\frac{\alpha}{r_0}=0 \end{eqnarray*}$

Ich hab mal wieder keinen Plan. Also fangen wir am besten in der ersten Zeile an. Warum ist wenn -V eine Stammfunktion f ist $\begin{eqnarray*} E=\frac{1}{2}(x')^2+V(x) \end{eqnarray*}$ konstant?? Die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} x'' \end{eqnarray*}$ ist doch nicht einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x')^2 \end{eqnarray*}$ Oder??

26.10.2006, 17:53

Abakus

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RE: Newtonsche Gleichung:
Bilde $\begin{eqnarray*} E'(t) \end{eqnarray*}$ und zeige, dass es die Nullfunktion ist (Kettenregel).

Grüße Abakus smile

smile

27.10.2006, 14:49

ratskrone

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$\begin{eqnarray*} E'(t)=x'(t)*x''(t)-(-V(x(t)))'=x'(t)*x''(t)- -V'(x(t))x'(t)\\ =x'(t)*x''(t)-f(x(t))x'(t)=x'(t)*x''(t)-x''(t)x'(t)=0 \end{eqnarray*}$

So würde zumindest das richtige rauskommen. Bei der Ableitung von $\begin{eqnarray*} V(x(t)) \end{eqnarray*}$ und der Umwandlung in $\begin{eqnarray*} f(x(t)) \end{eqnarray*}$ bin ich mir aber nicht ganz sicher. Wär also schön wenn jemand was dazu schreiben könnte.

Ich hab noch nen Fehler in der Aufgabenstellung entdeckt, es soll gelten $\begin{eqnarray*} r(0)=r_0 \end{eqnarray*}$

Wie gehts nun weiter? Muss ich nun eine Stammfunktion für $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-\alpha}{x^2} \end{eqnarray*}$ suchen?

$\begin{eqnarray*} Q(x)= \frac{\alpha}{x} \end{eqnarray*}$
wäre eine Stammfunktion.

Dann wäre $\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{2}(r')^2+Q(r) \end{eqnarray*}$ konstant. (wie oben)

Stimmt das soweit? Wie bekommt man dann das A raus?

27.10.2006, 15:47

Abakus

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Zitat:

Original von ratskrone
$\begin{eqnarray*} E'(t)=x'(t)*x''(t)-(-V(x(t)))'=x'(t)*x''(t)- -V'(x(t))x'(t)\\ =x'(t)*x''(t)-f(x(t))x'(t)=x'(t)*x''(t)-x''(t)x'(t)=0 \end{eqnarray*}$

So würde zumindest das richtige rauskommen. Bei der Ableitung von $\begin{eqnarray*} V(x(t)) \end{eqnarray*}$ und der Umwandlung in $\begin{eqnarray*} f(x(t)) \end{eqnarray*}$ bin ich mir aber nicht ganz sicher. Wär also schön wenn jemand was dazu schreiben könnte.

Ja, hab ich auch so.

Zitat:

Ich hab noch nen Fehler in der Aufgabenstellung entdeckt, es soll gelten $\begin{eqnarray*} r(0)=r_0 \end{eqnarray*}$

Wie gehts nun weiter? Muss ich nun eine Stammfunktion für $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-\alpha}{x^2} \end{eqnarray*}$ suchen?

$\begin{eqnarray*} Q(x)= \frac{\alpha}{x} \end{eqnarray*}$
wäre eine Stammfunktion.

Dann wäre $\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{2}(r')^2+Q(r) \end{eqnarray*}$ konstant. (wie oben)

Stimmt das soweit? Wie bekommt man dann das A raus?

Statt A meinst du eigentlich E (?) und E ist konstant. Wie ich die Methode verstehe, kommst du auf diese separierbare DGL, die zu lösen ist dann.

Grüße Abakus smile

smile

27.10.2006, 17:36

ratskrone

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Ich raff nicht, was ich jetzt konkret machen muss. Hilfe

Hilfe

27.10.2006, 19:05

Abakus

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Du hast:

$\begin{eqnarray*} E(r) = \frac{1}{2}(r')^2 + \frac{\alpha}{r} \end{eqnarray*}$

Das kannst du etwas umformen zu:

$\begin{eqnarray*} r' = \sqrt{2 \cdot (E(r) - \frac{\alpha}{r})} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} E(r) \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante. Damit hast du die in der Aufgabe spezifizierte DGL, die du nun noch lösen musst.

Grüße Abakus smile

smile

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28.10.2006, 17:02

ratskrone

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Also ist $\begin{eqnarray*} E(r)=0 \end{eqnarray*}$ wegen der Zusatzbedignung im ersten Beitrag 3-letzte Zeile?

28.10.2006, 17:26

Abakus

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Zitat:

Original von ratskrone
Also ist $\begin{eqnarray*} E(r)=0 \end{eqnarray*}$ wegen der Zusatzbedignung im ersten Beitrag 3-letzte Zeile?

Nein, nur konstant. Das steht im ersten Beitrag:

Zitat:

dann ist $\begin{eqnarray*} ...~E=\frac{1}{2}(x')^2+V(x) \end{eqnarray*}$ konstant (Energieerhaltung).

Grüße Abakus smile

smile

28.10.2006, 17:33

ratskrone

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Also dann müsste es so weiter gehen:

$\begin{eqnarray*} y'=\sqrt{-2\alpha}*\frac{1}{\sqrt y} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} H(y)=2\sqrt{y} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} G(x)=\sqrt{-2\alpha}x \end{eqnarray*}$

Das dann gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{y}=\sqrt{-2\alpha}x \end{eqnarray*}$

und nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen.

Also $\begin{eqnarray*} y=\pm(x^2(-2)\alpha\frac{1}{4}) \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Darf man $\begin{eqnarray*} \sqrt{-2\alpha} \end{eqnarray*}$ überhaupt schreiben wenn man weiß, dass $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ gilt oder muss man da $\begin{eqnarray*} \sqrt{2\alpha}i \end{eqnarray*}$ schreiben.

Also irgendiwie scheint das nicht zu stimmen,wo ist der Fehler?

28.10.2006, 17:35

ratskrone

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Zitat:

Original von Abakus
Nein, nur konstant. Das steht im ersten Beitrag:

Zitat:

dann ist $\begin{eqnarray*} ...~E=\frac{1}{2}(x')^2+V(x) \end{eqnarray*}$ konstant (Energieerhaltung).

Grüße Abakus smile

smile

Hat also überall den Wert wie bei 0. Das ist doch Null in dem Fall?

28.10.2006, 18:15

Abakus

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Zitat:

Original von ratskrone
Hat also überall den Wert wie bei 0. Das ist doch Null in dem Fall?

Ich sehe nicht, wo das steht oder woraus das folgen soll verwirrt

verwirrt

. Möglich, dass du recht hast.

Grüße Abakus smile

smile

28.10.2006, 21:16

ratskrone

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RE: Newtonsche Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}v_0^2-\frac{\alpha}{r_0}=0 \end{eqnarray*}$

Dachte deswegen, wie siehts mit dem Rest aus, stimmt das soweit?

29.10.2006, 01:36

Abakus

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RE: Newtonsche Gleichung:

Zitat:

Original von ratskrone
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}v_0^2-\frac{\alpha}{r_0}=0 \end{eqnarray*}$

Dachte deswegen, wie siehts mit dem Rest aus, stimmt das soweit?

OK, mit der Bedingung kriegst du erstmal E = 0.

Zitat:

Original von ratskrone
$\begin{eqnarray*} y'=\sqrt{-2\alpha}*\frac{1}{\sqrt y} \end{eqnarray*}$

Das würde ich zunächst als $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} = \sqrt{2 \alpha} \cdot \frac{1}{\sqrt{-y}} \end{eqnarray*}$ schreiben und mittels getrennter Veränderlicher lösen. y müsste dann eine negative Funktion sein.

Grüße Abakus smile

smile

PS: den ersten Teil von dem Doppelpost hatte ich glatt übersehen

29.10.2006, 16:55

ratskrone

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ok, ich habs nochmal gerechnet.
$\begin{eqnarray*} f(r)=\frac{-\alpha}{r^2}\Rightarrow V(r)=\frac{-\alpha}{r} \end{eqnarray*}$
daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \frac{dr}{dt}=\sqrt{2\frac{\alpha}{r}}=\sqrt{2\alpha}\frac{1}{\sqrt r} \end{eqnarray*}$
einmal mit plus und einmal mit minus als Vorzeichen**.
Ich hab nun r ausgerechnet und folgendes rausbekommen:
$\begin{eqnarray*} r=(\sqrt{2\alpha}x\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$
stimmt das?
Wie berücksichtigt man**?

29.10.2006, 19:12

Abakus

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Das sieht besser aus, ok. Die Vorzeichen musst du dir noch genau anschauen. Unterschiedliche Vorzeichen berücksichtigst du zB mit Fallunterscheidungen.

Grüße Abakus smile

smile

30.10.2006, 00:05

ratskrone

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Kommt dann einfach einmal noch ein Minus mit in die Klammer und einmal nicht?

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