Urnen-Ziehung

21.04.2010, 15:58

TurboTordo

Urnen-Ziehung

Aufgabe: Zwei Bälle werden aus einer Urne mit drei grünen und zwei roten Bällen
gezogen. Der erste Ball wird nicht zurück gelegt, bevor der zweite Ball
gezogen wird. Wenn der zweite Ball rot ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit
ist der erste Ball grün?

Ereignisse: r=rot, g=grün
X1 = Ziehung 1
X2 = Ziehung 2

P(X1=g) = 3/5
P(X1=r) = 2/5
P(X2=g | X1=g) = 0,5
P(X2=g|X1=r) = 3/4
P(X2=r|X1=g) = 0,5
P(X2=r|X1=r) = 1/4

P(X2=r) = P(X2=r|X2=r)*P(X1=r) + P(X2=r|X1=g)*P(X1=g) = 0,4

P(X1=g|X2=r) = P(X2=r|X1=g)*P(X1=g) / P(X2=r) = 0,75

Stimmt das so ?

21.04.2010, 18:37

sulo

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RE: Urnen-Ziehung
Klingt mir fast wie eine Scherzfrage...

Die Ziehung des ersten Balles ist doch gänzlich unabhängig von der Ziehung des zweiten, die hinterher stattfindet.

Somit musst du doch nur die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung eines ausrechnen grünen Balls im ersten Zug ausrechnen. Der zweite Zug interessiert nicht, weil er noch gar nicht stattgefunden hat. Insofern ist die Bedingung: "Wenn der zweite Ball rot ist...." reine Augenwischerei.

21.04.2010, 19:14

TurboTordo

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HAHA

Also einfach nur 3/5 ? Big Laugh

21.04.2010, 19:16

sulo

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Ja, wenn ich da nicht was gründlich missverstehe, ist das die Lösung. Freude

21.04.2010, 19:55

Huggy

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Nein sulo, so sehr ich deine Beiträge schätze, hier bist du mächtig auf dem Holzweg. Die Rechnung von TurboTordo war völlig in Ordnung.

Ich kleide es mal in meine Worte:

Zunächst wird berechnet, wie wahrscheinlich es überhaupt ist, bei der zweiten Ziehung einen roten Ball zubekommen.In der ersten Ziehung bekommt man in 3/5 der Fälle einen grünen Ball. Die Wahrscheinlichkeit für einen roten Ball in der zweiten Ziehung beträgt dann 2/4 =1/2. In 2/5 der Fälle zieht man in der ersten Ziehung einen roten Ball. Dann zieht man in der zweiten Ziehung mit Wahrscheinlichkeit 1/4 einen roten Ball. Die Gesamtwahrscheinlcihkeit für einen roten Ball bei der zweiten Ziehung ist daher:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5}\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\frac{1}{4}=\frac{2}{5} \end{eqnarray*}$

Diese 2/5 aller Fälle erfüllen die Bedingung rot bei der zweiten Ziehung. Welcher Anteil davon hatte nun grün in der ersten Ziehung. Insgesamt waren das

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5}\frac{1}{2}=\frac{3}{10} \end{eqnarray*}$

Relativ zu den 2/5 ist das ein Anteil von

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{3}{10}}{\frac{2}{5}}=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

TurboTordo hat das formal viel schöner geschrieben, aber vielleicht ist es so einsichtiger.

21.04.2010, 20:14

sulo

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Oh Mist, jetzt weiß ich, wie es gemeint war...

Das war genau das Missverständnis, das ich befürchtet hatte.

Es soll nicht grundsätzlich die Wahrscheinlichkeit für grün beim ersten Zug ermittelt werden, sondern nur ein Ausschnitt daraus, nämlich der Anteil, dem eine rote Kugel folgt.
Der andere Anteil, wo eine zweite grüne Kugel folgt, interessiert nicht.

Danke für die Aufklärung, Huggy, und Entschuldigung für die falsche Fährte an TurboTordo.