Normierte Räume

21.04.2010, 16:49

energyfull

Normierte Räume

Hallo an alle, ich hätte da eine Frage bzgl. einer Aufgabe:

die Aufgabe lautet:
Sei $\begin{eqnarray*} p:=(1,2,-3)\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Berechnen sie $\begin{eqnarray*} ||p||_1,||p||_2,||p||_\infty \end{eqnarray*}$ .

So ich habe mir Überlegungen gemacht und mir die Definition angeschaut und bin dann zum Ergebnis gekommen.(hoffe es ist richtig)

Die Definition lautet erstmal:
Sei $\begin{eqnarray*} p:=(x_1,...,x_n)\in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} ||p||_1=|x_1|+...+||x_n|| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||p||_2=({x_1}^2+...+{x_n}^2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||p||_\infty =max(|x_1|...|x_n|) \end{eqnarray*}$

so dann habe ich da raus:
$\begin{eqnarray*} ||p||_1=|1|+|2|+|-3|=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||p||_2=(1^2+2^2+(-3)^2)^{\frac{1}{2} }=14^{\frac{1}{2} }=3,741 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||p||_\infty =max(|1|,2,-3)=2 \end{eqnarray*}$

ist es so richtig?

21.04.2010, 16:50

Airblader

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Bis auf die Maximumsnorm stimmt es, aber lass lieber $\begin{eqnarray*} \sqrt{14} \end{eqnarray*}$ stehen, denn das "=" danach ist einfach falsch (das ist nur eine Näherung!).

Bei der Maximumsnorm hast du die Beträge vergessen (?)

air

21.04.2010, 16:57

energyfull

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ach so wenn ich dann die beträge komme, kommt dann da |-3|=3 raus.

also ist
$\begin{eqnarray*} ||p||_\infty =3 \end{eqnarray*}$

und der rest dann richtig?

Ich habe noch eine Frage , wie bestimme ich denn dann die Menge aller $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ , für die
. $\begin{eqnarray*} ||v||_\infty =||v||_2 \end{eqnarray*}$
und 2. die menge aller $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ für die $\begin{eqnarray*} ||v||_2 =||v||_1 \end{eqnarray*}$

21.04.2010, 17:16

Airblader

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Zitat:

Original von energyfull
ach so wenn ich dann die beträge komme, kommt dann da |-3|=3 raus.

also ist
$\begin{eqnarray*} ||p||_\infty =3 \end{eqnarray*}$

Korrekt

Für die zweite Aufgabe schaue dir mal an, wie z.B. die Menge der Einheitsvektoren dieser Normen aussieht, dann kommst du vielleicht auf eine Spur.

air

21.04.2010, 17:39

T0b1a5

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Aufgabe 1 vom Blatt 1 ist doch ganz einfach Augenzwinkern

Schreibe dir einfach mal v als Paar x,y auf. Also:
Sei v=(x,y) und dann kannst du die Gleichungen lösen smile

21.04.2010, 22:53

energyfull

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ich verstehe jetzt nicht ganz genau, wie du das mit v=(x,y) meinst.
also einfach v=(1,2) oder wie?
aber dann ist
$\begin{eqnarray*} ||v||_\infty =2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ||v||_2 =\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

so richtig habe ich das nicht verstanden

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