Reziproke Vektoren

21.04.2010, 19:29

Knallcop

Reziproke Vektoren

Hy!

Hier geht es um eine Aufgabe aus dem Bereich der Vektorrechnung. Sie stammt aus dem (bekannten?) Lehrbuch "Mathematik 1" von Fetzer/Fränkel. Falls jemand dieses Buch hat, es ist die allerletzte Aufgabe von den vektoren.

--> Die Struktur eines Kristalls werde durch die drei Gittervektoren a1 = (0,1,1), a2 = (0,1,0) und a3 = (-1,0,0) beschrieben. Bestimmen Sie die durch die Bedingungen

bi * aj = (2*PI für i=j
(0 für i ungleich j i,j = 1,2,3

definierten reziproken Gittervektoren b1, b2 und b3!

i und j sind jeweils kleine Indizes. Die beiden untereinander stehenden Klammern soll eine große geschwungene sein.

Die Lösung steht zwar im Buch, aber eben kein Lösungsansatz, geschweige denn ein Lösungsweg. Genau diese Aufgabe kam auch einmal in einer Klausur dran. Ich sitze seit Anbeginn des Studiums an dieser Aufgabe, die nach wie vor ein großes Mysterium für mich ist. Ideen habe ich überhaupt keine, soviel kann ich schonmal verraten Freude

Aber vielleicht einer von euch? Evtl. kennt auch jemand dieses Lehrbuch und weiss, welche Aufgabe ich meine? Ich wäre für eine Auflösung sehr sehr dankbar, da mir bisher niemand helfen konnte.

21.04.2010, 19:48

riwe

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RE: Reziproke Vektoren
ist ja ganz leicht zu lesen unglücklich

kann es sein

$\begin{eqnarray*} \vec{b}_1=(0/0/2\pi)^T \end{eqnarray*}$

21.04.2010, 19:50

IfindU

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RE: Reziproke Vektoren
Schau dir mal unseren mächtigen LaTeX-Formeleditor an, damit kann man z.B. folgende schöne Sachen machen:

$\begin{eqnarray*} b_i \cdot a_j = \begin{cases}2 \pi & \text{für i=j} \\ 0 & \text{für i ungleich j;} i,j \in \{1,2,3\}\end{cases} \end{eqnarray*}$

21.04.2010, 19:51

Knallcop

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Sorry, ich habe mich erst heute angemeldet und werde mir demnächst mal das LaTex-Zeug reinziehen um hier keine Verwirrung zu stiften;-)

Aber hey, du hast Recht!!

Könntest du mir erklären, wie du es gemacht hast?

21.04.2010, 20:00

Knallcop

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Ich meine den Riwe, der das erste richtige Ergebnis raus hat:-)

21.04.2010, 20:12

riwe

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Zitat:

Original von Knallcop
Ich meine den Riwe, der das erste richtige Ergebnis raus hat:-)

na, das ist ja eher eine triviale übung Augenzwinkern

mit den entsprechenden skalarprodukten gemäß definition
hast du (immer) 3 gleichungen für die 3 gesuchten komponenten, als für $\begin{eqnarray*} \vec{b}_1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \vec{b}_1\cdot\vec{a}_1=2\pi \to b_{12}+b_{13}=2\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{b}_1\cdot\vec{a}_2=0\to b_{12}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{b}_1\cdot\vec{a}_3=0\to b_{11}=0 \end{eqnarray*}$

womit man alle komponenten von $\begin{eqnarray*} \vec{b}_1 \end{eqnarray*}$ ohne größeres schweißvergießen hat Augenzwinkern

21.04.2010, 20:39

Knallcop

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Hmm, so ganz verstehe ich deinen rechnungsgang noch nicht. was genau ist denn b12 und b13? Vielleicht könntest du das nochmal in anderen Worten erklären? smile

21.04.2010, 20:51

riwe

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Zitat:

Original von Knallcop
Hmm, so ganz verstehe ich deinen rechnungsgang noch nicht. was genau ist denn b12 und b13? Vielleicht könntest du das nochmal in anderen Worten erklären? smile

was studierst du denn verwirrt

ein vektor in R3 hat halt 3 komponenten, und da du 3 vektoren mit den bezeichnern $\begin{eqnarray*} \vec{a}_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}_i \end{eqnarray*}$ hast:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}_1=(a_{11}/a_{12}/a_{13})=(0/1/1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b}_1=(b_{11}/b_{12}/b_{13}) \end{eqnarray*}$

und für uns amateure ist das skalarprodukt 2er vektoren so definiert:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3 \end{eqnarray*}$

jetzt mußt du doch nur mehr einsetzen for $\begin{eqnarray*} \vec{a}_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}_i \end{eqnarray*}$

hier hast du halt doppelte indizes, das macht ja auch aus einer knackwurst keine salami und umgekehrt Augenzwinkern

21.04.2010, 21:13

Knallcop

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Joo, jetzt habe ich es geschnallt. Mathematik studiere ich jedenfalls nicht Augenzwinkern

Aber ich danke dir vielmals, dass du dir die Zeit genommen mir zu helfen!! Finde ich super von dir! Besten dank! Freude

das schätze ich sehr!

21.04.2010, 21:42

riwe

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ich erhalte

$\begin{eqnarray*} \vec{b}_1=(0/0/2\pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b}_2=(0/2\pi/-2\pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b}_3=(-2\pi/0/0) \end{eqnarray*}$

was möglicherweise sogar stimmt

21.04.2010, 21:48

Knallcop

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Korrekt!

Danke nochmals! Tanzen

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