Integral einer unstetigen Funktion

21.04.2010, 20:44

Charlotte_

Integral einer unstetigen Funktion

Hi,

ich stecke leider bei der folgenden Aufgabe fest:

Gegeben:
Funktion I
$\begin{eqnarray*} I: [-1, \infty[ \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
I(t) = 1 falls t > 0
I(t) = 0 sonst

Aufgaben:
a) Zeigen Sie, dass I riemannintegrierbar auf [-1,x] für x > -1 ist.
b) Berechnen Sie die F(x) als das Intergral von I(t) mit der unteren Grenze -1 und der oberen Grenze x.
c) Wo ist F stetig, wo differenzierbar?

Bei a) weiß ich, dass die Funktion monton steigend auf dem Intervall [-1,x] ist, also müsste I riemannintergrierbar auf dem Intervall sein, oder?
Bei b) kann ich leider keine Stammfunktion angeben, da ich durch die abschnittsweise Definition verwirrt bin. Die Stammfunktion von I(t) = 0 wäre ja F(t) = C und für I(t) = 1 wäre das F(t) = x + C (C als reelle Konstante), doch wie kann ich das verknüpfen?

Ich danke allen für die Hilfe...

Gruß
Charlotte

21.04.2010, 21:53

Mathewolf

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Ihr betrachtet da die Heavyside-Funktion

$\begin{eqnarray*} \Theta(t):=\begin{cases}1 & \mathrm{fuer}\ t>0\\ 0 &\mathrm{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Was hat die Monotonie mit dert Integrierbarkeit zu tun? Fast alle Polynomfunktionen sind nicht monoton, aber sind alle riemann-integrierbar. Das Kriterium für die Riemann-Integrierbarkeit ist die Stetigkeit. Damit eine Funktion über ein Intervall I riemann-integrierbar ist, muss sie in I punktweise stetig sein. $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ ist bei $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ aber nicht stetig. Daher ist $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} I=[-1,x[ \end{eqnarray*}$ nicht riemann-integrierbar.

Allenfalls kannst du Intervall I in zwei Unterintervalle, $\begin{eqnarray*} I_1:=[-1,0] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I_2:=]0,x] \end{eqnarray*}$ , aufteilen.
In diesen $\begin{eqnarray*} I_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I_2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ stetig und somit riemann-integrierbar und du kannst dann eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ angeben.

21.04.2010, 22:06

Charlotte_

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Zitat:

Original von Mathewolf
Ihr betrachtet da die Heavyside-Funktion

$\begin{eqnarray*} \Theta(t):=\begin{cases}1 & \mathrm{fuer}\ t>0\\ 0 &\mathrm{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Was hat die Monotonie mit dert Integrierbarkeit zu tun? Fast alle Polynomfunktionen sind nicht monoton, aber sind alle riemann-integrierbar..

Ist eine Funktion auf einem abgeschlossenem Intervall monoton, so ist die Funktion dort auch riemannintergrierbar. Die Umkehrung gilt nicht. Dein Beispiel mit den Polynomfunktionen ist also Quatsch...

Wie sieht's nun bei b) und c) aus?

Gruß
Charlotte

21.04.2010, 22:15

Mathewolf

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Beispiel: Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ und I=[-2,], dann ist f über I riemann-integrierbar, aber ist auf I nicht monoton.

21.04.2010, 22:32

Charlotte_

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Was willst du mir mit dem Beispiel nun sagen? Stimmst du mir zu? Was ist mit b) ,c)
Irgendwie kannst/willst du mir nicht weiterhelfen...

Gruß
Charlotte

21.04.2010, 23:10

Mathewolf

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Ich will damit sagen, dass deine Argumentation zur Riemann-integrierbarkeit nicht stimmt.

Monotone Funktionen sind riemann-integrierbar. Aber ist die Funktion \Theta bei T=0 wirklich monoton? Wie habt ihr denn Monotonie definiert?

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