Lineare Glecihungssystem in Abhängigkeit des Parameters a

26.10.2006, 16:31

August:-)

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Lineare Glecihungssystem in Abhängigkeit des Parameters a

Hallöchen

Wink

,

ich bin es nochmal. Jetzt wollte ich ein Gleichungssystem mit einem Parameter lösen. Der macht mir jetzt doch ein paar kleine Probleme. Aber ich denke, dass ich das mit sicherheit mit eurer hilfe noch verstehen werde.

Also, hier ist die Aufgabe:

Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystem (über den reellen Zahlen)

1. Gleichung: $\begin{eqnarray*} 2x + y + 4z = 2 \end{eqnarray*}$
2. Gleichung: $\begin{eqnarray*} 6x + 2y + (a+8)z = 5 \end{eqnarray*}$
3. Gleichung: $\begin{eqnarray*} 10x + 4y + (a^2+16) z = a+8 \end{eqnarray*}$
in Abhängigkeit des Parameters $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

So, hier ist mein Anfang:

Zuerst habe ich die 1. Gleichung durch 0,5 dividiert. UNd die erste Matrix lautet dann folgenermaßen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0,5 & 2 & 1 \\ 6 & 2 & a+8 & 5 \\ 10 & 4 & a^2+16 & a+8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so, nun multipliziere ich die erste zeile mit 6 um dann die erste zeile von der zweiten zeile abzuziehen. anschließend multipliziere ich die erste zeile mit 10 unm dann dieses Produkt von der dritten zeile abzuziehen. Daraus folgt also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0,5 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & a-4 & -1 \\ 0 & -1 & a-4 & a-12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

SO, nun habe ich dann die zweite zeile mit (-1) multipliziert. Dann muss dass (-1) fache der zweiten zeile von der dritten zeile abgezogen werden. Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0,5 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -a+4 & 1 \\ 0 & 0 & 2a-8 & a-11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und hier bleibe ich stecken.
Ich teiele euch jedoch meine Vermutungen mit:

DIe dritte zeile müsste als Gleichung ja jetzt so lauten:

$\begin{eqnarray*} 2a -8 = a-11 \end{eqnarray*}$ das ist äqualent zu $\begin{eqnarray*} a = 3 \end{eqnarray*}$
damit also diese Gleichung lösbar sein kann, muss, so glaube ich, $\begin{eqnarray*} a = 3 \end{eqnarray*}$ gelten.
aber selbst wenn das jetzt stimmen sollte, dann weiß ich trotzdem nicht, wie ich nun die variablen $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ berechnen soll.

Wäre echt toll, wenn ihr mir hier auch nochmals helfen könntet.

Danke smile

smile

26.10.2006, 17:42

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0,5 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & a-4 & -1 \\ 0 & -1 & a-4 & a-12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die dritte Zeile dieser Matrix ist nicht richtig.

Gruß Björn

26.10.2006, 17:42

Serpen

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RE: Lineare Glecihungssystem in Abhängigkeit des Parameters a

Zitat:

Original von August:-)
$\begin{eqnarray*} 2a -8 = a-11 \end{eqnarray*}$ das ist äqualent zu $\begin{eqnarray*} a = 3 \end{eqnarray*}$
damit also diese Gleichung lösbar sein kann, muss, so glaube ich, $\begin{eqnarray*} a = 3 \end{eqnarray*}$ gelten.
aber selbst wenn das jetzt stimmen sollte, dann weiß ich trotzdem nicht, wie ich nun die variablen $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ berechnen soll.

Wäre echt toll, wenn ihr mir hier auch nochmals helfen könntet.

Danke smile

smile

Also, ich habe jetzt nicht nachgerechnet, aber wenn a = 3 sein muss, damit die Gleichung lösbar ist, denn setz einfach für a 3 ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2006, 17:44

TheGreatMM

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RE: Lineare Glecihungssystem in Abhängigkeit des Parameters a
du sollst nicht a lösen sondern x,y,z in Abhängihkeit von a bestimmen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

die Aufgabe soll dich zu Vektorrechnung im übrigen hinführen...

26.10.2006, 20:17

August:-)

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RE: Lineare Glecihungssystem in Abhängigkeit des Parameters a
@Bjoern1982
du hast recht. Hoffentlich ist es jetzt so richtig:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0,5 & 2 & 1 \\ 6 & 2 & a+8 & 5 \\ 10 & 4 & a^2+16 & a+8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0,5 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & a-4 & -1 \\ 0 & -1 & a^2-4 & a-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0,5 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -a+4 & 1 \\ 0 & 0 & a^2-a & a1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so, und wie kann ich das jetzt weiter machen? wie erhalte ich die Lösung von x,y,z ?
ich will ja jetzt auf keinen fall eine lösung presentiert bekommen. sondern nur einen ratschlag, wie ich hier vorgehen kann/muss.

26.10.2006, 21:11

Bjoern1982

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Du musst dir jetzt diese Fragen stellen:

Wann, also für welche Wahl von a, wird die letzte Zeile zu einer

a) ganzen Nullzeile
b) halben Nullzeile
c) keiner Nullzeile

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26.10.2006, 22:59

August:-)

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Wann, also für welche Wahl von a, wird die letzte Zeile zu einer

a) ganzen Nullzeile
b) halben Nullzeile
c) keiner Nullzeile

Also, wenn ich mir die letzte Zeile anschaue, dann habe ich ja:

$\begin{eqnarray*} a^2-a = a1 \end{eqnarray*}$ , oder?

Und wenn ich eine ganze Nullzeiel haben will, dann würde ich sagen das $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ sein muss:

wenn $\begin{eqnarray*} a= 0 \end{eqnarray*}$ ist , dann $\begin{eqnarray*} 0^2-0 = 0*1 \end{eqnarray*}$ ist ja null
oder
wenn $\begin{eqnarray*} a= 2 \end{eqnarray*}$ ist, denn $\begin{eqnarray*} 2^2 -2 = 2*1 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} 2=2 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} 0=2-2 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

und wenn ich eine halbe Nullzeile haben will, dann muss glaube ich a= 1 gelten. Denn dann heißt die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 1^2-1 = 1*1 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} 0=1 \end{eqnarray*}$

und wenn ich keine nullzeile haben will, gilt jede Zahl aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ würde ich jetzt mal sagen.

Meintest du das? oder habe ich es falsch verstanden? traurig

traurig

26.10.2006, 23:48

Bjoern1982

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Also ich hatte es erst für nen Tipfehler gehalten aber der Eintrag unten rechts lautet nicht a1 sondern a-1.

Und bei a²-a kannst du auch noch schön a ausklammern, was vieles vereinfacht.

Gruß Björn

27.10.2006, 16:04

August:-)

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so ein mist. da ist mir wieder ein rechenfehler unterlaufen. danke. tut mir leid, wollte ich nihct.

NA gut, jetzt wo da nun in der letten zeile $\begin{eqnarray*} a^2-a = a-1 \end{eqnarray*}$ steht ändert sich da auch eine kleinigkeit:

a) ganzen Nullzeile bei:

$\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$

b) halbe Nullzeile bei:

$\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$

c) keine Nullzeile bei:

$\begin{eqnarray*} a \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

aber trotzdem hilft mir gleube ich das jetzt nicht wirklich weiter, wie ich die Matrix fortsetzen könnte. Oder?

Ich weiß halt nur, dass a nicht 1 oder 0 sein sollte. Da ich ja dann keinen wert für z mehr bekommen könnte.

27.10.2006, 17:01

August:-)

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hallöchen, ich bin es nochmal.

ich habe jetzt versucht, die aufgabe ohne Matrixschreibweise zu lösen. Und da komme ich auf folgende Lösungen:

$\begin{eqnarray*} z = \frac{a-1}{a^2-a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2a^2 -6a +4}{a^2-a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= 1 \end{eqnarray*}$

könnte das so stimmen? Natürlich darf a nicht den wert o oder 1 annehmen. Sonst hätte man ja eine Null im Nenner.

SInd aufjedenfall die Werte schonmal richtig?

wenn ja, dann würde ich trotzdem gerne nochmal wissen, wie ich dies in Matrizenchreibeise darstellen kann.

Danke für eure Hilfe :-)

27.10.2006, 17:15

TheGreatMM

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das sieht doch schön und von der Aufgabenstellung so gewollt aus... Nur siehe dir deine Ergebnisse nochmal an und stelle dir die frage ob du nicht noch ein bisschen^^ Augenzwinkern

Augenzwinkern

vereinfachen kannst... Big Laugh

Big Laugh

27.10.2006, 17:32

August:-)

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Zitat:

Original von TheGreatMM
Nur siehe dir deine Ergebnisse nochmal an und stelle dir die frage ob du nicht noch ein bisschen^^ Augenzwinkern

Augenzwinkern

vereinfachen kannst... Big Laugh

Big Laugh

ja ok, die lösung von y könnte ich vereinfachen. indem ich die 2 rausziehe. Dann sieht das dann halt so aus:

$\begin{eqnarray*} y= \frac {2(a^2-3a+2)} {a^2-a} \end{eqnarray*}$

und sind die ergebnisse richtig?

trotzdem konnte ich die aufgabe nicht in Matrixschreibweise lösen. traurig

traurig

Ich bin so vorgegangen:

Wir haben wie schon ben gesgat, folgende Gleichungen:

1. Gleichung: $\begin{eqnarray*} 2x + y + 4z = 2 \end{eqnarray*}$
2. Gleichung: $\begin{eqnarray*} 6x + 2y + (a+8)z = 5 \end{eqnarray*}$
3. Gleichung: $\begin{eqnarray*} 10x + 4y + (a^2+16) z = a+8 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich das 3-Fache von der ersten Gleichung von der zweiten Gleichung subtrahiert. SOwie das 5fache der ersten Gleichung von der dritten gleichung abgezogen. Somit erhielte ich die beiden folgenden Gleichungen:

4. Gleichung: $\begin{eqnarray*} -y -4z +az = -1 \end{eqnarray*}$
5. Gleichung: $\begin{eqnarray*} -y-4z+a^2z = a-2 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich gerechnet: (vierte Gleichung - fünfte Gleichung). somit konnte ich nach z umstellen. Und für z erhielte ich halt:

$\begin{eqnarray*} z = \frac{a-1}{a^2-a} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich z in die fünfte Gleichung eingesetzt. Und ich erhilt y:
$\begin{eqnarray*} y= \frac {2(a^2-3a+2)} {a^2-a} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich z und y in die erste Gleichung eingesetzt. Ich konnte somit x ermitteln:

$\begin{eqnarray*} x= 1 \end{eqnarray*}$

Mien Problem ist also noch, dass ich kein Matrixschreibweise verwendet habe. Ich könnte zwar die Aufgabe auch so abgeben. Aber ich würde diese Art von Lösungsmethode auch geren lernen traurig

traurig

versteht ihr was ich meine?

27.10.2006, 22:26

TheGreatMM

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nein da geht noch viel mehr...

Lsg
nur ein einfacher Schritt bis dahin...
$\begin{eqnarray*} z= \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} y=\frac{2(a-2)}{a} \end{eqnarray*}$

wenn schon
$\begin{eqnarray*} a^{2} - a \end{eqnarray*}$
im Nenner gegeben ist, ist das meistens so, das sowas ähnliches im Zähler auch zu finden ist, bzw. via versa Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2006, 22:44

August:-)

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das mag jetzt eine echt doofe frage von mir sein. aber wie bist du darauf gekommen, dass

$\begin{eqnarray*} z = \frac {a-1}{a^2-a} = \frac {1}{a} \end{eqnarray*}$ ist?

ich sehe das irgendwie nicht, wie du darauf gekommen bist.
verwirrt

verwirrt

27.10.2006, 23:05

TheGreatMM

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kannst du ausklammern?

27.10.2006, 23:14

August:-)

Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar :-). ich habe mir das auch schon angeguckt. aber da habe ich dann sowas stehen:

$\begin{eqnarray*} z = \frac {a-1}{a^2-a} = \frac {a-1}{a(a-1)} = \frac {a(1-\frac{1}{a})}{a(a-1)} = \frac {(1-\frac{1}{a})}{(a-1)} \end{eqnarray*}$
und dann komme ich nicht weiter. Sorry

28.10.2006, 09:02

TheGreatMM

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Zitat:

Original von August:-)
ja klar :-). ich habe mir das auch schon angeguckt. aber da habe ich dann sowas stehen:

$\begin{eqnarray*} z = \frac {a-1}{a^2-a} = \frac {a-1}{a(a-1)} = \frac {a(1-\frac{1}{a})}{a(a-1)} = \frac {(1-\frac{1}{a})}{(a-1)} \end{eqnarray*}$
und dann komme ich nicht weiter. Sorry

kürz doch einfach im 2 Schritt a- 1 weg Forum Kloppe

Forum Kloppe

Augenzwinkern

28.10.2006, 13:33

August:-)

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, da war ich aber ein riesen depp.

Aber, ich weiß,jetzt müsste ich mich wahrscheinlich im grund und boden schämen, aber bei y finde ich auch keine einfachere Alternative:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2a^2 -6a +4}{a^2-a} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{2(a^2 -3a +2)}{a^2-a} = \frac{2a(a -3 + \frac {2}{a})}{a(a-1)} = \frac{2(a -3 + \frac {2}{a})}{(a-1)} \end{eqnarray*}$

(das ist mir ja schon fast peinlich, dass ich das nicht rausbekomme traurig

traurig

)

28.10.2006, 14:12

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{2(a^2 -3a +2)}{a^2-a} \end{eqnarray*}$

Klammere an dieser Stelle a im Nenner aus und faktorisiere den Zähler...sieht man entweder sofort mit dem Satz von Vieta oder man berechnet die Nullstellen NS des Terms, der im Zähler in Klammern steht und macht dann daraus:
(x-NS1)*(x-NS2)

Und dann kannste kürzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

28.10.2006, 14:32

August:-)

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Ach du meine güte, ich habe es geschafft Prost

Prost

.
Danke Bjoern1982. Aber diese Methode, büche zu vereinfachen, habe ich glaube ich noch nie gesehen. so weit ich mich erinnern kann. Aber es hat geklappt :-)

Meine vorgehensweise:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2(a^2 -3a +2)}{a^2-a} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{2(a^2 -3a +2)}{a(a-1)} = \frac{2(a-2)(a-1)}{a(a-1)} = \frac{2(a-2)}{a} \end{eqnarray*}$

und den satz von vieta habe ich meiner meinung nach noch nie gehört verwirrt

verwirrt

.

Aber naja, wir haben es geschafft :-)

vielen dank nochmal, an alle mitwirkende, die an diesem erfolg beteiligt sind.

Aber trotzdem bleibt doch noch eine Frage offen:

WIe kann ich diese aufgabe in Matrizenschreibweise darstellen?

28.10.2006, 16:53

TheGreatMM

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vergiss Matrix meine Empfehlung... wer bringt dir denn das bei?

Vieta:
im Grunde ist
$\begin{eqnarray*} a^{2}-3a+2 \end{eqnarray*}$

so zu sehen, das der Term irgendwie zusammengesetzt ist... da (a - 1) schon im Nenner geben ist, schaust du einfach ob du mit der gleichen Syntax auf $\begin{eqnarray*} a^{2}-3a+2 \end{eqnarray*}$ kommst...

ich habe z.B. im Kopf

$\begin{eqnarray*} \frac{2 * (a^{2}-3a+2) }{a (a-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2 * (a - 1 ) * (a - 2) }{a * (a-1)} \end{eqnarray*}$

probiert und siehe da es passte... dann (a - 1) gekürzt und viola...

das absolute Glied (dat ohne die Variable) ist also das entscheide zum hinschauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

geht ratzi fazi wenn du es im Gefühl hast...

= $\begin{eqnarray*} \frac{(x^{2}+5x+6) }{(x + 2)} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{(x + 2 ) * ( x + ?) }{(x + 2)} \end{eqnarray*}$

na? was bleibt als Ergebnis über?

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