Unterschied endlich und unendlich-dimensionalen linearen normierten Räumen

21.04.2010, 23:56	gastasdfafs	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschied endlich und unendlich-dimensionalen linearen normierten Räumen Meine Frage: Hallo, es wurde in einem Beispiel um folgende zwei Mengen(Einheitskugeln bzgl. Supremumsnorm und Lp-Norm). (Auf dem Raum der Stetigen Funktionen C([0,1]). $\begin{eqnarray} Q\equiv \left\{ f\|(sup_{0\leq x\leq 1}\|f(x)\|)\leq1\right\} <br /> P\equiv \left\{f\Bigg\| \sqrt{\int_a^b \! \|f(x)\|^2 \, dx } \leq 1\right\} \end{eqnarray}$ Nun wurde gezeigt, dass $\begin{eqnarray} Q\subset P \end{eqnarray}$ und dass das Komplement von Q dicht in P ist. Das soll nun einen wesentlich unterschied zwischen endlich-dimensionalen und unendlich-dimensionalen linearen normierten Räumen zeigen. Und zwar, dass die Topologie im endlich-dimensionalen Fall eindeutig bestimmt ist, aber im unendlich-dimensionalen Fall nicht. Wie ist das zu verstehen? Was hat das damit zu tun dass das Komplement von Q dicht in P ist usw.? Meine Ideen: Die Vorstellung, dass eine Einheitskugel in einer anderen enthalten ist und das Komplement dieser dicht in der anderen liegt ist schon etwas komisch aber was hat das mit der Topologie zu tun?
22.04.2010, 02:01	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Wären die durch die beiden Normen erzeugten Topologien dieselben, so müsste mindestens auch P in der Topologie des $\begin{eqnarray} C([0,1]) \end{eqnarray}$ offen sein. Dass aber das Komplement von P dicht in Q liegt, sagt dir, dass jede offene Umgebung eines $\begin{eqnarray} p \in P \end{eqnarray}$ auch zwangsläufig Punkte aus $\begin{eqnarray} Q \setminus P \end{eqnarray}$ enthält, also kann P nicht offen im $\begin{eqnarray} C([0,1]) \end{eqnarray}$ sein. Ihr habt damit also gezeigt, dass die durch die $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ -Norm erzeugten offenen Mengen nicht den offenen Mengen im $\begin{eqnarray} C([0,1]) \end{eqnarray}$ entsprechen. Ich hoffe, ich konnte dir damit weiterhelfen. Gruß, Carsten
22.04.2010, 18:25	gastasdfafs	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke für deine Antwort. Du sagst dass das Komplement von P dicht in Q liegt, aber wir haben nur gezeigt dass das Komplement von Q dicht in P liegt. Umgedreht ist die bestimmt nicht der Fall. Und warum sprichst du von offenen Mengen? Sind P und Q nicht abgeschlossene Einheitskugeln bzgl. ihrer Normen? Vllt ist auch folgender Text hilfreich, der nach dem Beweis dass das Komplement von Q dicht in P liegt(ich hoffe es ist kein Problem, dass dieser auf Englisch ist): "This last example illustrates an essential distinction betwenn finite-demensional and infinite-dimensional normed linear spaces. In either case the closed unit ball is such that any line through the origin (that is, all scalar multiples of a fixed nonzero point) meets the unit ball in a closed segment having the origin as midpoint. In the finite-demensional case the topology is thereby uniquely determined. The present example shows that in the infinite-dimensional case this is not true." Soll das evt. auch zeigen, dass Normen auf $\begin{eqnarray} C([0,1]) \end{eqnarray}$ nicht unbedingt äquivalent sind? Gruß
22.04.2010, 20:44	gastasdfafs	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann ist die Topologie der endlich dimensionalen Räume, wie z.b. dem $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ . Durch die Lagebeziehung der Kugeln zum Ursprung usw. eindeutig bestimmt. Im fall von dem Funktionenraum der stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1] kann man nun sagen, dass das Komplement von Q dicht in P liegt also die Normen nicht äquivalent sind also die topologie der unendlichdimensionalen Räume nicht eindeutig bestimmt ist?
22.04.2010, 22:47	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich hatte Q und P verwechselt, aber wenn du in meiner Argumentation P und Q vertauschst, kommt das Richtige raus - im Prinzip ist es nicht von Belang, ob dann die Einheitskugeln mit Rand oder ohne Rand gewählt werden. Zu deinem letzten Post - genau das sollte mit dem Beispiel demonstriert werden - nämlich dass du Einheitskugeln findest, die nicht "ähnlich" sind insofern, dass man in die eine Kugel eine hinreichend kleine Kopie der anderen einbringen kann und umgekehrt. Dass man hier keine Ähnlichkeit der Normen (bzw. der Einheitskugeln) vorliegen hat, wird hier eben durch die Dichtigkeit des Komplements demonstriert.

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