Abbildung einer Quadrik

22.04.2010, 00:08	nuker89	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung einer Quadrik Meine Frage: Ich bekomm da ne Aufgabe nicht hin: Gegeben sei die Quadrik: $\begin{eqnarray} Q=\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb R^{2}\| x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+1=0\} \end{eqnarray}$ Es sei die affine Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha :\mathbb R^{2}\Rightarrow \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} \alpha (v)=\begin{pmatrix} 2 & 1 & \\ 1 & 2 & \end{pmatrix} v+\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeichnen Sie die Quadrik $\begin{eqnarray} \alpha (Q) \end{eqnarray}$ hat jemand eine Idee bzw einen Ansatz? Meine Ideen: Naja einen Ansatz habe ich nicht ich habe versucht die Quadrik in Matrixform zu schreiben und dann für v die Quadrik eingesetzt aber das scheitert an der Größe von den Matrizen. Edit: LaTeX korrigiert. Geschweifte Klammern mit \{ und \}. Gruß, Reksilat.
22.04.2010, 10:51	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung einer Quadrik Hi nuker, Die Quadrik in Matrixform zu schreiben, ist doch schon mal eine gute Idee. Nimm Dir dann einen Vektor $\begin{eqnarray} v\in Q \end{eqnarray}$ und betrachte $\begin{eqnarray} w:=\alpha(v) \end{eqnarray}$ . Wenn Du die Abbildungsvorschrift von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ umstellst, kannst Du eine Matrixgleichung für $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ erstellen, in der das $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ nicht mehr vorkommt. Gruß, Reksilat.
24.04.2010, 18:05	nuker89	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung einer Quadrik Ich versteh das noch nicht ganz. also wenn ich die Quadrik in Matrixform schreib bekomm ich das: $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} Aerw= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie mache ich jetzt damit weiter? Die Abbildungsvorschrift habe ich mal nach v umgeformt: $\begin{eqnarray} v= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\\ \end{pmatrix}^{-1}\left(\alpha \left(v\right)-\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ jetzt muss ich doch für v die Quadrik einsetzten oder versteh ich da was falsch? Wenn ich dich richtig verstanden habe nimmst du einen Vektor der in Q liegt und bildest ihn ab. Damit bekomme ich wieder einen Vekor. Wie mache ich dann weiter? danke für deine Bemühungen!!!! gruß nuker
25.04.2010, 19:15	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung einer Quadrik Das Ziel ist doch, eine vernünftige Vorschrift für die Vektoren aus $\begin{eqnarray} \alpha(Q) \end{eqnarray}$ zu bekommen, so dass man das auch zeichnen kann. Dazu müssen wir eben eine Gleichung finden, in der nur noch $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ und kein $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ mehr auftaucht. Mit den beiden vorhandenen Gleichungen (die der Quadrik und die Abbildungsvorschrift) lässt sich eigentlich kaum etwas anderes machen, als das was ich oben beschrieben habe. Dein Vektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ soll doch in der Quadrik liegen, d.h. es gilt $\begin{eqnarray} v^tAv=-1 \end{eqnarray}$ . Und für $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ musst Du nur noch die obige Vorschrift einsetzen und den Ausdruck ein wenig vereinfachen, dann hast Du für die Quadrik $\begin{eqnarray} \alpha(Q) \end{eqnarray}$ eine prima Form. Gruß, Reksilat.

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