Unendliche Körpererweiterung

22.04.2010, 08:32	Harro	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche Körpererweiterung Morgen, man soll den Erweiterungsgrad von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}\|\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ bestimmen. Der Erweiterungsgrad ist unendlich. Ich denke, das liegt daran, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ überabzählbar ist, aber $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ abzählbar. Aber wie kann man das jetzt sauber beweisen? Man muss irgendwie sehen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ auch abzählbar wäre, falls der Erweiterungsgrad endlich wäre. Wie argumentiert man denn da am besten? LG, Harro
22.04.2010, 08:53	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendliche Körpererweiterung Angenommen es gäbe eine endliche Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ mit n Elementen... Dann kannst du diese Basisdarstellung nützen, um zunächst einmal jede reelle Zahle als n-Tupel rationaler Zahlen darzustellen... Ersetze nun in dieser Darstellung jede rationale Zahl durch seine Nummer in irgendeiner Abzählung von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ...

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