Othonormalbasis / Orthogonalbasis

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eisley Auf diesen Beitrag antworten »
Othonormalbasis / Orthogonalbasis
hallo zusammen !!

ich habe gerade folgenden Übungsaufgaben gelöst:

Sei .

Man finde eine Orthonormalbasis von bezüglich der durch A definierten Bilinearform .


sowie:

Man finde eine Orthogonalbasis für die durch die folgende Matrix definierte Bilinearform




..ich wäre euch sehr dankbar, wenn jemand schnell meine Lösungen überfliegen könnte - ich bin noch ziemlich unsicher!

erste Aufgabe:

Im versehen mit dem Standardskalarprodukt sind zwei Basisvektoren gegeben:





somit ist



damit ist durch und eine Orthonormalbasis gegeben.



zur zweiten Aufgabe:







damit ist durch eine Orthogonalbasis gegeben.


herzlichen Dank für die Hilfe!

grüsse eisley
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Othonormalbasis / Orthogonalbasis
Hi eisley,

Wie habt Ihr denn den Begriff "Orthonormalbasis bezüglich einer Bilinearform" definiert? Für so etwas wie eine ONB benötigt man eigentlich ein Skalarprodukt, welches die erstgenannte Bilinearform aber immerhin ist (sie ist symmetrisch positiv definit).

Deine Vektoren bilden nun aber bezüglich dieses neu definierten Skalarprodukts keine ONB, denn es ist .
Vergiss am besten das Standardskalarprodukt und die Standardnorm des - diese existieren in dieser Aufgabe quasi gar nicht. Du kannst hier den Gram-Schmidt durchziehen, allerdings ist Dein Skalarprodukt eben immer die oben genannte Bilinearform und die Norm ist eben definiert als:



Bei der zweiten Matrix taucht das Problem auf, dass es auch nichttriviale Vektoren gibt, für die ist; die Bilinearform ist kein Skalarprodukt mehr und der Gram-Schmidt funktioniert deshalb nicht zwangsläufig. Wenn man aber mit geeigneten Vektoren anfängt, wird es in diesem Fall klappen. Man kann allerdings auch einfach mal so ein bisschen herumprobieren - das schult das mathematische Gespür. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Schöner ist vielleicht die Methode, den "symmetrischen Gauß-Algorithmus" (also simultanen Gauß-Algorithmus auf Zeilen und Spalten) zu verwenden und dabei die Umformungen "mitzuspeichern". Dann erspart man sich auch solche "Gram-Schmidt-Unfälle" mit Vektoren, für die gilt.

Um das Verfahren mal kurz zu illustrieren (an einem abgewandelten Beispiel):

.

Dann sind die Spalten der rechten Matrix eine OGB bzgl. der durch meine ursprünglich links angegebene Matrix festgelegte Bilinearform.
eisley Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Ideen!

..es wird sich was finden lassen. Freude
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