Lemniskate

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Herr Ratlos Auf diesen Beitrag antworten »
Lemniskate
Edit (mY+): Titel berichtigt

Moin, ich versuche gerade für die Integration einer Lemniskante die Formel: in Polarkoordinaten umzuformen. Aber irgendwie komme ich nicht drauf ich habe bis jetzt versucht die Binomische Formel anzuwenden, und die Beziehung r^2=x^2+y^2. Aber ich komme einfach nciht darauf. Jemand einen Tipp parat?

Vielen Dank!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Lemniskate

Die Umrechnung in/von Polarkoordinaten/Normalkoordinaten findest du bei

Polarkoordinaten - Lokaler Hochpunkt berechnen

Demzufolge ist mittels einfacher trigonometrischer Sätze die Polargleichung leicht zu erreichen:



mY+
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!
Ich weiß zwar nicht was eine Lemniskate ist, weder mit noch ohne n, aber Polarkoordinaten gehen noch Big Laugh

a ist eine Konstante, ja?

Für die Polarkoordinaten r und phi gibt es doch einfache Umrechnungsformeln!

x= r*cos(phi)
y= ???

Einfach einsetzen und fertig smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Dustin

Was bringt denn dieser dein Beitrag Neues?
Weshalb glaubst du, habe ich oben den Link angegeben? unglücklich

Ich mag es gar nicht, wenn jemand nur um des Postens willen einfach reinfunkt und vermeintlich etwas aussagt, was ohnehin schon gebracht wurde.
Herr Ratlos Auf diesen Beitrag antworten »

Danke war ja wirklich sehr einfach. Wie sieht das nun mit den Integrationsgrenzen aus, wenn Integrieren will? Kann cih da einfach von 0-2pi integrieren? Oder muss ich da teilen?
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

@mythos: Entschuldigung, das war wohl ein Problem an meinem PC - ich konnte nur die erste Zeile deines Posts sehen, die Rechtschreibkorrektur. Deswegen habe ich geantwortet. Sorry...
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Dustin

Ist klar.
Entschuldigung bitte für das Missverständnis.
_______________________________________

@Herr Ratlos

Zwischen welchen Grenzen du zu integrieren hast, wird wohl davon abhängen, welche Fläche du bestimmen willst. Du solltest aber daran denken, dass die Grenzen jene Winkel sind, die den Zeigern zu den Punkten zugeordnet sind, welche diese Fläche bestimmen.
Für den im 1. Quadranten (rechts, oben) liegenden Teil der Fläche sind dies die Nullstellen der Kurve. Man muss nun jene Winkel nehmen, die zu y = 0 führen.



r = 1

mY+
Herr Ratlos Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich möchte die Komplette Fläche haben. Aber war es nciht so, das man bei Polarkoordinaten einfach Integriert, und es wird die "überstrichene Fläche aufsummiert? Oder muss ich was beachten, weil es ja einen Knoten gibt?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was du mit "einfach integrieren" anstellen willst, wirst du wohl noch genauer überlegen müssen. Das mit der überstrichenen Fläche stimmt schon, es ist nur festzuhalten, von wem diese Fläche (nämlich von dem Zeiger) und von wo bis wohin diese Fläche überstrichen wird*. Sicher nicht von 0 bis , denn es ist - wie schon einmal gesagt - der entsprechende Winkel zu betrachten, den der Zeiger mit der x-Achse enschließt.

Bei Polarkoordinaten gilt



Damit wird hier das Integral besonders einfach!

(*) Die Grenzen sind also, wie ebenfalls schon einmal erwähnt, jene Winkel, die den beiden Nullstellen entsprechen. Hast du denn das nicht gelesen?
Hinweis: . Warum?
Bestimme also zunächst mal den Flächeninhalt im ersten Quadranten. Die (Punkt-)Symmetrie bewerkstelligt dann ihr Übriges.

mY+
Herr Ratlos Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Also die Nullstellen sieht man ja schon also zwischen 0 und pi/4. Da komme ich auf A=2a^2.

Kann man auch irgendwie über die Komplette Fläche integrieren, also ohne diese 4mal, und mit anderen grenzen. Das würde mich nur zum Verständnis nochmal interessieren. Oder heben sich da Flächenteile gegenseitig auf?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst natürlich jede Fläche einzeln berechnen, wenn du nicht an die Symmetrie glaubst. Dann die entsprechenden Winkel für den 2., 3. und 4. Quadranten einsetzen. "In einem durchintergrieren" ist hier - wegen des geteilten Definitionsbereiches - nicht möglich. Wozu auch?

mY+
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