stetigkeit

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gast24 Auf diesen Beitrag antworten »
stetigkeit
Hallo

Wie kann ich zeigen dass

für und
f(x,y)=0 für (x,y)=(0,0)

stetig ist?

danke in voraus ... Gott
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

bei solchen aufgaben nimmt man einfach Polarkoordinaten:

setze:

jetzt schickst du r gegen Null - wenn dann null raus kommt - gut, wenn was mit alpha rauskommt ist es nicht stetig in Null
Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »

Sunwaters Tipp ist zur Stetigkeit im Nullpunkt!

Vergiss nicht zu sagen, ob die Funktion auch außerhalb der Null stetig ist. Das ist trivial, und schnell gemacht, sollte aber trotzdem nicht unter den tisch gefallen lassen werden.
gast24 Auf diesen Beitrag antworten »

geht das auch mit folgen? kann man nicht zb eine nullfolge die dann für x und y einsetzten und dann gegen unendlich laufen lassen und dann überprüfen ob der wert mit dem funktionswert des punktes (0,0) übereinstimmt`?
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

das Problem ist, dass das für alle Folgen gelten muss und es ist dauert ein bisschen, bis du wirklich jede einzelne Folge die gegen 0 strebt ausprobiert hast... - deswegen mach's so wie oben beschrieben.
Ambrosius Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Folgen geht das auch, ist aber wie Sunwater schon gesagt hat, kaum möglich um Stetigkeit nachzuweisen, denn man muss alle Nullfolgen beschreiben.

Wenn du nun aber eine Funktion hast, und zeigen sollst, das sie nicht stetig ist, reicht es natürlich eine Nullfolge anzugeben, wo das Folgenkritertium der Stetigkeit verletzt ist
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Nullfolgen ausprobieren geht natürlich nicht (es sind ja unendlich viele). Das macht man doch dann immer nach dem gleichen Schema: Sei eine Nullfolge, deren Glieder allesamt ungleich sind. D.h., dass ist und und nicht beide gleichzeitig sein dürfen. Wenn oder ist, dann gilt natürlich . Für gilt:

.

Nun gilt für alle :

.

Das sollte weiterhelfen.

Gruß MSS
gast24 Auf diesen Beitrag antworten »

also die umformulierungen versteh ich aber wieso ist

. ???

Und wie kann ich generell Zeigen dass die Funktion stetig ist? Ambrosius sagt zwar es ist trivial, aber irgendwie komm ich nicht drauf unglücklich
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast24
Und wie kann ich generell Zeigen dass die Funktion stetig ist? Ambrosius sagt zwar es ist trivial, aber irgendwie komm ich nicht drauf unglücklich


Es gibt in der Analysis einen Satz, der besagt, das Verknüpfungen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) stetiger Funktionen wieder stetig sind, nur bei der Division darf der Nenner eben nicht Null werden. Und das kann bei deiner Funktion eben nur für (x,y)=(0,0) passieren.
gast24 Auf diesen Beitrag antworten »

also reicht es zu zeigen dass

und stetige Funktionen sind? und dann ist die verknüpfung sowieso stetig?
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Es reicht zu zeigen, dass f(x)=x ( bzw. f(y)=y ) und f(x)=x² stetig sind.
Ausser ihr hattet den Satz noch nicht, dann darfst du den eigentlich auch nicht anwenden (zumindest war das bei mir im Grundstudium so).
gast24 Auf diesen Beitrag antworten »

ja den satz hatten wir, also wenn f, g stetig in x_0 dann sind auch f*g stetig in x_0
ok dann kann ich das zeigen. danke : -)

aber mit dem nullpunkt versteh ich immernoch nicht wie ich das machen soll verwirrt
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Du bildest im Grunde nur den Grenzwert von
Nur da wir uns ja hier im 2-Dimensionalen befinden, musst du eben jede "Richtung" betrachten. Deshalb schlug Sunwater die Polarkoordinaten vor, denn wenn du in deiner Funktion x und y durch die Polarkoordinaten ersetzt, deckst den Kreis um den Nullpunkt ab und musst dann für (beliebigen Winkel) einfach nur noch r gegen Null laufen lassen. Wenn du dann nicht Null erhälst, sondern etwas, was für bestimmte ALphas ungleich Null ist, hast du Unstetigkeit vorliegen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt nach der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischen Mittel:

.

Gruß MSS
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Oder eben

also
und somit

*klugscheiß* Big Laugh
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Dann solltest du aber auch von ausgehen. Du teilst ja durch , was nicht notwendigerweise positiv sein muss. *noch mehr klugscheiß* Big Laugh

Gruß MSS
gast24 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab da noch eine Frage zu. Diese funktion ist ja zweimal differenzierbar. Aber es gilt nicht




jetzt sagt aber der Satzt von Schwarz dass für zweimal stetig differenzierbare Funktionen die Reihenfolge der partiellen Ableitung nicht entscheidend für das Ergebnis ist.

Dh. wenn die Funktion zweimal stetig differenzierbar wäre, dann müsste aber



gelten oder?

In der Aufgabe steht aber dass f ja zweimal differenzierbar ist. Und wir sollen dann sagen ob noch stetig. Aber wenn sie dazu auch noch stetig wäre dann dürfte doch nicht



gelten??

Also was ich gern wissen würde ist ob man die stetigkeit mithilfe der informationen erklären kann ohne die stetigkeit wirklich nachweisen zu müssen. Forum Kloppe
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich das richtig? Du hattest von Anfang an gegeben, dass die Funktion zweimal differenzierbar ist? Dann kannst du dir doch den Stetigkeitsbeweis für f schenken, denn wenn f differenzierbar ist, dann ist f erst recht stetig.
Also lautete die Fragestellung, ob f 2-mal stetig differenzierbar ist?
"Stetig differenzierbar" bedeutet, dass die Funktion differenzierbar und die Ableitung sogar stetig ist.
Deine Erklärung mittels Satz von Schwarz klingt sinnvoll, wenn auch leicht konfus. Ich rechne aber jetzt nicht die zweite Ableitung aus, da bin ich viel zu faul für Teufel
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das kann man so machen. Ich weiß allerdings nicht, ob man bei partiellen Ableitungen "zweimal differenzierbar" sagt. Ich würde das eher so ausdrücken: Beide partiellen Ableitungen zweiter Ordnungen existieren. Wie dem auch sei, wenn diese beiden stetig wären, würde die Gleichheit gelten. Und da die Gleichheit nicht gilt, können nicht beide stetig sein - ein einfacher Widerspruchsbeweis.

Gruß MSS
gast24 Auf diesen Beitrag antworten »

Neee wir müssen nicht sagen ob die ableitungen stetig sind. Wir müssen sagen ob die Funktion f stetig ist.

Also zunächst müssen wir zeigen dass f zweimal partiell differenzierbar ist...dh ich hab die funktion zweimal partiell abgeleitet und somit gezeigt dass die partiellen ableitungen existieren. ich hoffe es reicht??

naja dann sollen wir zeigen dass die partielle ableitung zweiter ordnung in dem punkt (0,0) nicht gleich ist ... also wie oben gesagt

und dann steht nur noch: Ist die Funktion f stetig ??


das ist die aufgabe ... hmm verwirrt
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gast24
Also zunächst müssen wir zeigen dass f zweimal partiell differenzierbar ist...dh ich hab die funktion zweimal partiell abgeleitet und somit gezeigt dass die partiellen ableitungen existieren. ich hoffe es reicht??

Ja!

Zitat:
Original von gast24
naja dann sollen wir zeigen dass die partielle ableitung zweiter ordnung in dem punkt (0,0) nicht gleich ist ... also wie oben gesagt

Hast du ja auch schon richtig gemacht

Zitat:
Original von gast24
und dann steht nur noch: Ist die Funktion f stetig ??

Hast du ja auch gezeigt (die Sache mit den Polarkoordinaten)
Dass der Satz von Schwarz nicht gilt, sagt dir nur, dass die Funktion nicht zweimal stetig differenzierbar ist. Also ist die 2. Ableitung nicht stetig.

Jetzt bist du fertig und kannst dir nun die Zeit bis zum Montag morgen beliebig vertrödeln Augenzwinkern
gast95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
bei solchen aufgaben nimmt man einfach Polarkoordinaten:

setze:


Ich tüftle auch gerade an den Polarkoordinaten herum...
Kann man x und y einfach so gleich bzw. setzen?
Und muss man dann noch angeben, aus welchem Intervall ist oder reicht das dann schon so?
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