DGL: Wo liegt der Fehler?

22.04.2010, 19:58

Bullet1000

DGL: Wo liegt der Fehler?

Hallo, ich bin gerade am Lösen einer DGL und finde meinen Fehler irgendwie nicht.
Also gegeben ist folgendes AWP:

$\begin{eqnarray*} tx'(t)=x(t)+\sqrt{t^2+[x(t)]^2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x(1)=0 \end{eqnarray*}$

So, also ich würde hier die Gleichung erstmal Umformen und dann $\begin{eqnarray*} z=\frac{x}{t} \end{eqnarray*}$ substiruieren.

$\begin{eqnarray*} x'=\frac{x}{t}+\sqrt{1+\left(\frac{x}{t} \right)^2}=z+\sqrt{1+z^2} \end{eqnarray*}$

Zudem ergibt sich aus der Substitution $\begin{eqnarray*} x'=z't+z \end{eqnarray*}$
Durch Einsetzen folgt daraus:

$\begin{eqnarray*} z't+z=z+\sqrt{1+z^2} \end{eqnarray*}$ und somit nach Trennung der Variablen

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{dz}{\sqrt{1+z^2}} \, dx =\int \! \frac{dt}{t} \, dx \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} Arsinh(z)=ln(t)+C_1 \end{eqnarray*}$

So, jetzt wende ich die Umkehrfunktion an und es sollte sich ergeben

$\begin{eqnarray*} z=\frac{(tC)^2-1}{tC} \end{eqnarray*}$ So, dann resubstituieren und mit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ multiplitzieren ergibt

$\begin{eqnarray*} x(t)=\frac{(tC)^2-1}{C} \end{eqnarray*}$ für das AWP ergibt sich für $\begin{eqnarray*} C=+-1 \end{eqnarray*}$

Irgendwo muss ein Fehler liegen. Könnt ihr mir weiterhelfen?

Grüße

Bullet1000

22.04.2010, 20:29

giles

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$\begin{eqnarray*} z(t)=\sinh (\ln t +C) \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} x(t)=t \sinh (\ln t +C) \end{eqnarray*}$ ist als allg. Lösung korrekt. Jetzt musst du noch C finden, es ergibt sich $\begin{eqnarray*} x(1)=\sinh(C) \overset{!}{=} 1 \end{eqnarray*}$ d.h. C=0

Jetzt einsetzen in den sinh ist vllt einfacher.

22.04.2010, 20:39

Bullet1000

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bei mir ergibt sich $\begin{eqnarray*} C=ln(1+\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$

22.04.2010, 20:49

giles

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$\begin{eqnarray*} \sinh(C)=\frac{1}{2}(e^{C}-e^{-C})=0 \Rightarrow e^C - e^{-C}=0 \Rightarrow e^C = e^{-C} \Rightarrow C=-C \Rightarrow C=0 \end{eqnarray*}$

22.04.2010, 20:52

Bullet1000

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Ach ja, natürlich, sorry.

Ergibt sich dann am Ende nicht einfach $\begin{eqnarray*} x(t)=t^2-1 \end{eqnarray*}$

Aber das genügt doch garnicht meiner DGL?

22.04.2010, 21:01

giles

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Ist heute nicht dein Tag, was? Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x(t)=t \frac{1}{2} (e^{\ln t} - e^{-\ln t} ) = t \frac{1}{2} (t - \frac{1}{t})=\frac{1}{2}(t^2-1) \end{eqnarray*}$

22.04.2010, 21:02

Bullet1000

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ach ja, beim sinh ist ja immernoch das 1/2 davor.

War ein harter TAg heute traurig

Also das ergebnis stimmt, meinst du?

22.04.2010, 21:11

Bullet1000

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Also irgendwie genügt $\begin{eqnarray*} x(t)=\frac{1}{2}(t^2-1) \end{eqnarray*}$ meiner DGL nicht, oder?

22.04.2010, 21:12

corvus

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RE: DGL: Wo liegt der Fehler?
.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} z't+z=z+\sqrt{1+z^2} \end{eqnarray*}$

und somit nach Trennung der Variablen

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{dz}{\sqrt{1+z^2}} \, dx =\int \! \frac{dt}{t} \, dx \end{eqnarray*}$

Frage: was soll denn da noch das dx ? Augenzwinkern

Zitat:

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} Arsinh(z)=ln(t)+C_1 \end{eqnarray*}$

oder:

$\begin{eqnarray*} ln| z + \sqrt{1+z^2}| =ln | C\cdot t | \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{t} + \sqrt{(1+ (\frac{x}{t})^2 } = C\cdot t \end{eqnarray*}$

und jetzt kannst du selbst noch leicht herausfinden,
was für C gilt, wenn t=1 und x=0

ach ja :
genau die wirst du dann bekommen :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x(t)=\frac{1}{2}(t^2-1) \end{eqnarray*}$ smile

22.04.2010, 21:18

giles

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Zitat:

Original von Bullet1000
Also irgendwie genügt $\begin{eqnarray*} x(t)=\frac{1}{2}(t^2-1) \end{eqnarray*}$ meiner DGL nicht, oder?

Du wagst es zu zweifeln! Auf den Scheiterhaufen!

$\begin{eqnarray*} t x'(t) = t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(t^2-1)+\sqrt{t^2+\frac{1}{4}(t^2-1)^2}= ? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^2+\frac{1}{4}(t^2-1)^2 = \frac{1}{4} (t^4 - 2t^2 +1 ) +t^2 = \frac{1}{4} (t^4+2t^2+1)=(\frac{1}{2}(t^2+1))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow t^2= \frac{1}{2}(t^2-1)+ \sqrt{(\frac{1}{2}(t^2+1))^2}=\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}t^2 \checkmark \end{eqnarray*}$

22.04.2010, 21:18

Bullet1000

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Ahh, vielen Dank. Hab auch gerade herausgefundne, dass $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ meiner DGL genügt.

Ich hätte mal noch eben eine andere Frage. Und zwar habe ich noch eine DGL, aber bei der finde ich irgendwie keine richtigen Ansatz.
$\begin{eqnarray*} 0=tx(t)[x'(t)]^2+t^2 \end{eqnarray*}$

Ich hab mir gedacht, dass mann das Ganze umstellen könnte nach $\begin{eqnarray*} (x')^2=-\frac{t}{x} \end{eqnarray*}$ und ann wieder genauso substituieren, wie gerade in der ersten DGL. Aber irgendwie bringt das nicht.

Siehst du eine andere Möglichkeit?

22.04.2010, 22:25

giles

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Hier sind jetzt die Variablen separierbar.
$\begin{eqnarray*} 0 = t x(t) [x'(t)]^2+t^2 \Rightarrow 0 = x(t)[x'(t)]^2+t \Rightarrow i\int \sqrt{t}dt = \int \sqrt{x} dx \end{eqnarray*}$

22.04.2010, 22:34

Bullet1000

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$\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ steht für die imaginäre Einheit, oder?

Also wir hatten zwar in Analysis schon komplexe Zahlen.

Aber hinsichtlich unserer Vorlesung zu gew. DGL sind die komplexen Zahlen noch nicht gefallen. Und wie man mit komplexen Funktionen umgeht, hatten wir auch noch nicht.
Gibt es noch eine Möglichkeit die DGL im reellen Bereich zu lösen?

22.04.2010, 23:25

corvus

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Zitat:

Original von Bullet1000

Gibt es noch eine Möglichkeit die DGL im reellen Bereich zu lösen?

$\begin{eqnarray*} 0 = t x(t) [x'(t)]^2+t^2 \end{eqnarray*}$

zB im Bereich mit t<0 und x>0 :

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{-t}dt = \int \sqrt{x} dx \end{eqnarray*}$

überlege, wie es da nun weitergeht..
usw..
.

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