Gebiet, zusammenhängend, Weg

22.04.2010, 22:44

frieder

Gebiet, zusammenhängend, Weg

Hallo.

Mir sind die Begriffe Gebiet, zusammenhängend, Weg noch nicht klar. Sind die folgenden Definitionen ok?:

Gebiet: nichtleere Teilmenge von C, offen, zusammmenhängend
zusammenhängend: es gibt kein A Teilmenge X ((X,t) topolog. Raum), A ungleich leere Menge, A ungleich X mit A offen und abgeschlossen
Weg: stetige Abbildung eines abgeschlossenen Intervalls in R in einen metrischen Raum

Wir hatten auch noch einen Satz in der Vorlesung, dass es zusammenhängende Mengen in R^n gibt, die nicht wegzusammenhängend sind. Wie geht denn das?

Dann lese ich noch in einem Beweis, der als Voraussetzung "sei D ein zusammenhängendes Gebiet, p,q zwei verschiedene Punkte in D" hat, dass es dann einen Weg $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ gibt, der p und q verbindet. Wie erklärt sich die Existenz eines solchen Weges?

Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar,
frieder

22.04.2010, 23:41

Urza

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RE: Gebiet, zusammenhängend, Weg

Zitat:

Original von frieder
Hallo.

Zitat:

Mir sind die Begriffe Gebiet, zusammenhängend, Weg noch nicht klar. Sind die folgenden Definitionen ok?:

Gebiet: nichtleere Teilmenge von C, offen, zusammmenhängend
zusammenhängend: es gibt kein A Teilmenge X ((X,t) topolog. Raum), A ungleich leere Menge, A ungleich X mit A offen und abgeschlossen
Weg: stetige Abbildung eines abgeschlossenen Intervalls in R in einen metrischen Raum

Korrekt. Eine äquivalente Definition von "zusammenhängend" ist, dass sich X nicht disjunkt in zwei offene nichtleere Mengen zerlegen lässt.

Zitat:

Wir hatten auch noch einen Satz in der Vorlesung, dass es zusammenhängende Mengen in R^n gibt, die nicht wegzusammenhängend sind. Wie geht denn das?

Ein oftgenanntes Beispiel ist die Teilmenge von IR^2, die sich aus der Vereinigung der y-Achse mit dem Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} ]0,\infty[ \to \mathbb{R}, \ x\mapsto \sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ ergibt. Du kannst ja mal versuchen zu zeigen, dass diese Menge das erfüllt.

Zitat:

Dann lese ich noch in einem Beweis, der als Voraussetzung "sei D ein zusammenhängendes Gebiet, p,q zwei verschiedene Punkte in D" hat, dass es dann einen Weg $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ gibt, der p und q verbindet. Wie erklärt sich die Existenz eines solchen Weges?

Betrachte zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ die sogenannte Wegzusammenhangskomponente $\begin{eqnarray*} W_x \end{eqnarray*}$ , definiert als die Menge aller Punkte in D, die sich mit x durch einen Weg verbinden lassen. Zeige, dass diese $\begin{eqnarray*} W_x \end{eqnarray*}$ alle offen sind. Warum würde es daher einen Widerspruch zum Zusammenhang von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ bedeuten, wenn es in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ zwei Punkte $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ gäbe, die sich nicht durch einen Weg verbinden ließen?

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