Vollständige Induktion Fehlersuche |
| 23.04.2010, 10:50 | Jean Baptiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Vollständige Induktion Fehlersuche Hallo, folgende zwei Probleme: Finden Sie den Fehler in den folgenden Induktionsbeweisen: 1. Aufgabe Behauptung: Für alle gilt: Sind a und b zwei natürliche Zahlen, deren Maximum gleich n ist (max (a,b) = n), so ist a = b Beweis: Induktionsanfang: Für n=0 ist die Behauptung offenbar richtig. Induktionsschritt: die Behauptung sei für n-1 nachgewiesen. Wir betrachten zwei natürliche Zahlen a, b mit max (a,b) = n. Man betrachtet nun die Zahlen a'=a-1 und b'=b-1. Es gilt dann max (a',b') = n-1 und damit auch die Induktionsannahme a'= b'. Daraus folgt a=b. 2. Aufgabe Behauptung: Befinden sich Personen in einem Raum, so haben alle am selben Tag Geburtstag. Beweis: Induktionsanfang: Für n=1 ist die Behauptung offenbar richtig. Induktionsschritt: Die Behauptung sei für n-1 nachgewiesen. Wir schicken von den n Personen, die sich im Raum befinden, eine hinaus. Wieder haben die verbleibenden Personen am selben Tag Geburtstag. Dies muss derselbe Tag wie vorhin sein. Also haben alle an diesem Tag Geburtstag. Meine Ideen: Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp für den Lösungsansatz geben? Vor allem bei der 2. Aufgabe ist offensichtlich, dass sie nicht stimmt, aber wie kann ich das effektiv belegen? Mein Lösungsansatz ist, dass man nicht davon ausgehen kann, n-1 sei schon bewiesen. Damit ist der Induktionsschritt von grund auf falsch, was für beide Aufgaben zutrifft. Könnte mir jemand dabei helfen, eine besser ausformulierte Lösung zu erstellen? Danke im Voraus. |
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| 23.04.2010, 10:58 | Evelyn89 | Auf diesen Beitrag antworten » |
wenn du zeigen willst, das etwas nicht gilt, reicht es ein gegenbeispiel zu bringen. |
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| 23.04.2010, 11:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » |
@Evelyn89: es geht darum, den Fehler in der Beweislogik zu finden, und nicht darum, eine falsche Aussage zu widerlegen. Bei der 2. Aufgabe liegt der Fehler darin, daß der Induktionsschritt für n=2 nicht funktioniert. Wenn 2 Personen im Raum sind und einer rausgeht, dann haben die verbliebenen Personen (das ist nur eine) am gleichen Tag Geburtstag. Aber wieso sollte dies der gleiche Tag sein, wie bei der Person, die hinausgegangen ist? |
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