Nilpotenz

23.04.2010, 11:22

Lea

Nilpotenz

Hallo
Habe eine Aufgabe zur Nilpotenz zu erledigen. Ich weiß auch was nilpotent bedeutet: Wenn ich eine Matrix A habe wird diese für eine Potenz K gleich 0 aber für eine Potenz k-1 ungleich 0.
Ich habe jetzt folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb C^{n\times n} \end{eqnarray*}$ nilpotent. Ich will jetzt zeigen, dass die Matrix A nur die 0 als einzigen Eigenwert hat.
Weiß irgendwie nicht so richtig wie ich da rangehen kann. Kann mir da jemand etwas weiterhelfen?

23.04.2010, 11:25

tigerbine

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RE: Nilpotenz
Schreib mal in formeln hin, was nilpotent bedeutet und was ein Eigenwert ist. Kommst du dann auf eine Idee?

23.04.2010, 12:34

Lea

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RE: Nilpotenz
Also ich weiß aus meinem Skript soviel:
Eine Matrix $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb C ^{n\times n} \end{eqnarray*}$ heißt nilpotent, wenn es eine Zahl $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N^k=0 \end{eqnarray*}$ , das kleinste solche k heißt Index der Nilpotenz.
Um die Eigenwerte zu bestimmen muss ich doch diese Gleichung lösen:
$\begin{eqnarray*} (N- \lambda I)x=0 \end{eqnarray*}$ .
Aber irgendwie hilft mir das nicht wirklich weiter.

23.04.2010, 12:42

tigerbine

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RE: Nilpotenz
Nein, so meine ich das nicht. Es ist doch so, dass ein minimales n aus N gibt für das gilt

$\begin{eqnarray*} A^n=0 \end{eqnarray*}$

Und ein Vektor v heißt Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} Av=\lambda v \end{eqnarray*}$

Nun wird behauptet, dass 0 der einzige Eigenwert ist. Dann probier doch mal, warum es keinen EW ungleich 0 geben kann.

23.04.2010, 13:08

Mystic

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RE: Nilpotenz
Alternativ zu dem was Tigerbine vorschlägt (und was auch bei weitem den einfachsten und unmittelbarsten Zugang zur Lösung der Aufgabe darstellt), könnte man auch einfach eine Formel für $\begin{eqnarray*} (A-\lambda I)^{-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ angeben, was unter der Voraussetzung der Nilpotenz von A leicht möglich ist... Das ist aber dann schon eher was für Feinschmecker... Augenzwinkern

25.04.2010, 11:11

Lea

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RE: Nilpotenz
Also ich habe mich jetzt zuerst mal mit dem Vorschlag von Tigerbine beschäftigt und bin soweit gekommen:
Ein Eigenvektor ist niemals der 0- Vektor. Wenn jetzt der Eigenwert ungleich 0 wäre, kann es keine Matrix $\begin{eqnarray*} A^n=0 \end{eqnarray*}$ geben da die sonst diese Gleichung nicht mehr stimmen kann.

$\begin{eqnarray*} Av=\lambda v \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, ob ich das jetzt so richtig ausgedrückt habe. was mich noch etwas irritiert ist, dass in der Formel für die Eigenwerte ja kein $\begin{eqnarray*} A^n \end{eqnarray*}$ steht, sondern ein nur ein A.

25.04.2010, 12:28

Mystic

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RE: Nilpotenz

Zitat:

Original von Lea
Ich weiß nicht, ob ich das jetzt so richtig ausgedrückt habe. was mich noch etwas irritiert ist, dass in der Formel für die Eigenwerte ja kein $\begin{eqnarray*} A^n \end{eqnarray*}$ steht, sondern ein nur ein A.

Ja, aber das kann man ja ändern, oder etwa nicht? Du musst es nur versuchen...Auch solltest du nicht vergessen, dass für den Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ per definitionem gilt $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$ ...

25.04.2010, 12:50

Lea

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RE: Nilpotenz

Zitat:

Original von Mystic
Auch solltest du nicht vergessen, dass für den Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ per definitionem gilt $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$ ...

Aber genau das habe ich doch erkannt und auch geschrieben...

Zitat:

Original von Lea
Ein Eigenvektor ist niemals der 0- Vektor.

Also ich versuche es nochmal...

Wenn der Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ wäre, dann wäre $\begin{eqnarray*} Av \neq 0 \end{eqnarray*}$ , weil

Zitat:

Original von Mystic
Auch solltest du nicht vergessen, dass für den Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ per definitionem gilt $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$ ...

und auch daraus fogt auch dass $\begin{eqnarray*} A\neq 0 \end{eqnarray*}$
Ich hänge jetzt ein bisschen, dass auf die nilpotenz von A zu übertragen...
Ich weiß ja nur, dass [l]A^n\neq0[/] für ein minimales n ist. Aber A könnte ja ungliech 0 sein.

25.04.2010, 14:05

tigerbine

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RE: Nilpotenz
Ich gehe nun mal meinen Weg weiter. Wäre mystic aber dankbar, wenn wir im Anschluss seinen machen könnten. Die Idee dahinter interessiert mich. Augenzwinkern

Mit v als Eigenvektor ist per Definition schon klar, dass v von 0 verschieden ist. Wir wollen uns dann doch mit den 2 Formeln an einem Widerspruchsbeweis versuchen. Wir haben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A^n=0 \end{eqnarray*}$

Und ein Vektor v heißt Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} Av=\lambda v \end{eqnarray*}$

Nun nehmen wir an, dass es einen Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt. Was hat das zur Folge? Schauen wir uns die zweite Gleichung an. Dann steht dort rechts etwas vom Nullvektor verschiedenes. Nun multiplizieren wir die Gleichung mal mit A.

$\begin{eqnarray*} A(Av)=A(\lambda v) \end{eqnarray*}$

und schreiben das um.

$\begin{eqnarray*} A^2v=\lambda (Av) \end{eqnarray*}$

und nochmal

$\begin{eqnarray*} A^2v=\lambda (\lambda v) \end{eqnarray*}$

und noch einmal

$\begin{eqnarray*} A^2v=\lambda^2 v \end{eqnarray*}$

Wieder steht rechts was vom Nullvektor verschiedenes. Und nun ist doch klar, wie man den gewünschten Widerspruch bekommen kann, oder? Augenzwinkern

25.04.2010, 14:11

Mystic

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RE: Nilpotenz
@ Lea

Irgendwie stehst du endlos auf der Leitung, trotz aller meiner Andeutungen, wie du hoffentlich dann selber erkennen wirst, sobald du die überaus einfache Lösung siehst... Warum zum Teufel betrachtest du immer nur $\begin{eqnarray*} Av \end{eqnarray*}$ aber niemals $\begin{eqnarray*} A^nv \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A^n =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor zu einem Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ von A ist? verwirrt

Edit:

Sorry tigerbine, habe deine Antwort oben nicht gesehen... Zu deiner Frage bezüglich $\begin{eqnarray*} (A-\lambda I)^{-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ , solltest einfach bei dem äquivalenten Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac {-\lambda^{-1}I}{I-\lambda^{-1}A} \end{eqnarray*}$

an die Summenformel einer unendlich geometrischen Reihe denken...

25.04.2010, 15:04

Lea

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RE: Nilpotenz
@ Mystic: Ich habe glaube ich wirklich auf der Leitung gestanden.
Aber dank der ausführlichen Erklärung von Tigerbine habe ich es jetzt glaube ich verstanden.
@Tigerbine: Vielen Dank für die ausführliche Hilfe. Wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ wäre, könnte es kein $\begin{eqnarray*} A^n=0 \end{eqnarray*}$ geben, das heißt A könnte nicht nilpotent sein.
Das wäre dann der Widerspruch.

25.04.2010, 15:18

tigerbine

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RE: Nilpotenz
Schön, dann können wir uns ja dem Weg von Mystic widmen. du willst doch auch über Widerspruch gehen, oder?

Sei A also nilpotent. Annahme, es gäbe ein $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Betrachten wir dann

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda I)^{-1} \end{eqnarray*}$

wobei mir nun nicht sofort klar ist, warum $\begin{eqnarray*} (A-\lambda I) \end{eqnarray*}$ regulär ist. Es steht zunächst einmal eine "Summe/Differenz" einer singulären und einer regulären Matrix da. Mich erinnert so eine Kombination aus Matrix und Einheitsmatrix zum Einen an [WS] Lineare Gleichungssysteme 1 und zum anderen an [Artikel] Eigenwerte und Eigenvektoren Aber müßte man dann nicht fordern, dass der zugehörige Eigenraum eindimensional ist? verwirrt

Also Mystic, schubs mich mal in den richtigen Blickwinkel deines Ansatzes.

Gruß Wink

25.04.2010, 16:59

Mystic

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RE: Nilpotenz

Zitat:

Original von tigerbine
Also Mystic, schubs mich mal in den richtigen Blickwinkel deines Ansatzes.

Ich dachte, ich hätte diesen "Schubs" bereits in dem Edit zum meinem letzten Posting durchgeführt, aber vielleicht hast das ja übersehen... Augenzwinkern

Also dann nochmals, ist $\begin{eqnarray*} A^n=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} A-\lambda I \end{eqnarray*}$ dann wegen

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda I)^{-1} = -\frac {\lambda^{-1}I }{I-\lambda^{-1}A}= -\lambda^{-1} \sum_{k=0}^{n-1}\lambda^{-k} A^k \end{eqnarray*}$

jedenfallls nichtsingular, womit ein $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ also dann auch nicht Eigenwert von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sein kann, da aus $\begin{eqnarray*} (A-\lambda I)v=0 \end{eqnarray*}$ ja sofort $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ folgen würde...

25.04.2010, 17:50

tigerbine

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RE: Nilpotenz
Mmh... Also wir haben $\begin{eqnarray*} A^n=0 \end{eqnarray*}$ und nehmen an $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann kann man sich ja mal so eine Summe (Reihe) hinschreiben, da ab Index n alle Summanden gleich 0 sind.

$\begin{eqnarray*} -\lambda \sum_{k=0}^{n-1}(-\lambda)^k A^k = -\lambda \sum_{k=0}^{n-1}\left( (-\lambda)\cdot A\right)^k \end{eqnarray*}$

Nun bekomme ich doch etwas Hemmungen, Matrizen in Brüche zu schreiben. Die Formel würde ja liefern:

$\begin{eqnarray*} ...=-\lambda \frac{I-(-\lambda A)^{n}}{I-\lambda A} \end{eqnarray*}$

Das wirft die Frage auf, aus welchem Blickwinkel wir hier die Matrix A betrachten? Also als Element von .... ? Matrizenring? Gilt die geom. Reihe Formel dann über Ringen? Dann umgeformt landen wir bei (nilpotent beachten)

$\begin{eqnarray*} ...=\frac{-\lambda I}{I-\lambda A} \end{eqnarray*}$

Da habe ich nun ja was anderes stehen wie du. verwirrt

Und irgendwie hab ich deine Idee mit der Inversen noch nicht verstanden. Wie dieser Ansatz motiviert ist. Also A wieder nilpotent und $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ sei Eigenwert. Dann ist die Matrix

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda I) \end{eqnarray*}$

singulär, da wir im Kern auch noch den Eigenvektor zu $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ finden. Nun setzt du aber einfach mal an, als würde es eine Inverse geben.

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda I)(A-\lambda I)^{-1} = I \end{eqnarray*}$

Hier die Frage, warum man Brüche schreiben darf. verwirrt

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda I)^{-1} = \frac{I}{A-\lambda I} \end{eqnarray*}$

Nun formt man um.

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda I)^{-1} = -\frac{\lambda^{-1} I}{I-\lambda^{-1}A} = -\lambda^{-1} \frac{I}{I-(\lambda^{-1}A)} =-\lambda^{-1} \frac{I-(\lambda^{-1}A)^n}{I-(\lambda^{-1}A)} = -\lambda^{-1} \cdot \sum_{k=0}^{n-1} (\lambda^{-1}A)^k \end{eqnarray*}$

Und der Widerspruch wäre dadurch erreicht, dass man eine Inverse zu einer singulären Matrix angegeben hätte. Erstaunt2

Ich bekomme da aber auch eine andere Darstellung raus wie du.

25.04.2010, 18:46

Mystic

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RE: Nilpotenz

Zitat:

Original von tigerbine
Ich bekomme da aber auch eine andere Darstellung raus wie du.

Ja sorry, hab da bei der expliziten Formel dann ein bißchen "gepatzt", aber in meinem letzten Edit dann gerade noch die Kurve gekratzt und nun stimmen wir ja wieder überein...

Ob der eingeschlagene Weg mit der "unendlichem geometrischer Reihe" usw. aus algebraischer Sicht zu rechtfertigen ist oder nicht, darüber würde ich mir jetzt nicht so viele Gedanken mache, da man ja die Formel, die zum Schluß herauskommt, unmittelbar dann nachrechnen kann... Es ist umgefähr so wie bei der Faktorisierung eines RSA-Moduls n: Wenn mir jemand die beiden Primfaktoren von n nennen kann, dann ist es mir gleich, ober er dabei irgendeinen Voodoo-Zauber verwendet hat oder irgendeine andere obskure Methode, solange die Probe dann stimmt... Augenzwinkern

25.04.2010, 18:48

tigerbine

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RE: Nilpotenz
Ok, so erklärt nur der "Vodoo" hier, warum ich diesen Ansatz so selbst nie gemacht hätte. Augenzwinkern

Schönen Restsonntag Wink

26.04.2010, 17:02

WebFritzi

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RE: Nilpotenz

Zitat:

Original von Mystic
Ob der eingeschlagene Weg mit der "unendlichem geometrischer Reihe" usw. aus algebraischer Sicht zu rechtfertigen ist oder nicht, darüber würde ich mir jetzt nicht so viele Gedanken machen

Topologisch gesehen macht es jedenfalls Sinn: http://de.wikipedia.org/wiki/Neumann-Reihe

27.04.2010, 13:45

Mystic

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RE: Nilpotenz

Zitat:

Original von WebFritzi
Topologisch gesehen macht es jedenfalls Sinn: http://de.wikipedia.org/wiki/Neumann-Reihe

Ja, wobei man sagen muss, dass man hier noch keine Topologie braucht, da die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \lambda^{-k}A^k \end{eqnarray*}$

wegen der Nilpotenz von A de facto eine endliche Summe ist, wie ja auch tigerbine sehr schön ausgeführt hat...

Der Grund für meine "Bruchschreibweise" war eigentlich, dass ich die Assoziation zur Summenformel einer unendlich geometrischen Reihe herstellen wollte, nichtahnend, dass ich tigerbine gerade damit so erschrecken würde... Augenzwinkern

Aber man kann (und sollte normalerweise) bei vertauschbaren(!) Matrizen A,B, wo B nichtsingulär ist, statt $\begin{eqnarray*} \frac AB \end{eqnarray*}$ natürlich auch einfach die gewohnte Schreibweise $\begin{eqnarray*} AB^{-1} \end{eqnarray*}$ nehmen...

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