Konvergenz komplexe Reihe Beweis

23.04.2010, 13:16	manigor	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz komplexe Reihe Beweis Meine Frage: Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (z_n)_n \end{eqnarray}$ eine Folge komplexer Zahlen mit $\begin{eqnarray} Re z_n \geq0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq 0 \end{eqnarray}$ . Die Reihen $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty z_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty (z_n)^2 \end{eqnarray}$ seien konvergent. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \|z_n\|^2 \end{eqnarray}$ konvergiert. Meine Ideen: Da $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty z_n \end{eqnarray}$ konvergiert, konvergiert ja auch die Reihe der Realteile bzw. der Imaginaerteile. Aus $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty (z_n)^2 \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty (x_n^2 - y_n^2 + 2ix_ny_n) \end{eqnarray}$ konvergiert, also auch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty (x_n^2 - y_n^2 ) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty (2x_ny_n) \end{eqnarray}$ . Allerdings weiss ich dann auch schon nicht mehr so recht wie ich weitermachen soll. Denn eigentlich soll ich ja zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \|z_n\|^2 =\sum\limits_{n=0}^\infty (x_n^2 + y_n^2) \end{eqnarray}$ konvergiert
24.04.2010, 08:54	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen $\begin{eqnarray} x_n \geq 0 \end{eqnarray}$ konvergiert mit $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty x_n \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty x_n^2 \end{eqnarray}$
25.04.2010, 15:11	manigor	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi woher weiß ich denn dass die Reihe über $\begin{eqnarray} Re(z_n)^2 \end{eqnarray}$ konvergiert? Folgt dies allein daraus, dass er größer null und die Reihe über $\begin{eqnarray} z_n \end{eqnarray}$ konvergiert? dann wäre der Beweis doch schon fertig, da dann ja auch die Reihe über $\begin{eqnarray} (y_n)^2 \end{eqnarray}$ konvergieren? oder nicht?
25.04.2010, 19:02	manigor	Auf diesen Beitrag antworten »
würde es so in etwa gehen? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (z_n) \end{eqnarray}$ kann ihre konvergenten Teilfolgen $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i\sum\limits_{n=1}^\infty b \end{eqnarray}$ ebenfalls wobei a = Re z und b = Im z $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (z_n^2) \end{eqnarray}$ ist konvergent, also auch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n^2 - b_n^2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i\sum\limits_{n=1}^\infty (2a_nb_n) \end{eqnarray}$ . Da die realteile von $\begin{eqnarray} z_n >= 0 \end{eqnarray}$ sind, konvergiert auch die Reihe über $\begin{eqnarray} a_n^2 \end{eqnarray}$ somit müsste auch die Reihe über $\begin{eqnarray} b_n^2 \end{eqnarray}$ konvergieren. und daher auch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (\|z_n\|^2) \end{eqnarray}$ oder nicht?
25.04.2010, 19:03	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es fehlen Sachen: 1, Die Begründung (der Beweis) warum $\begin{eqnarray} \sum {a_n}^2 \end{eqnarray}$ konvergiert. 2. Die Begründung warum daraus folgt, dass auch $\begin{eqnarray} \sum {b_n}^2 \end{eqnarray}$ konvergiert.
25.04.2010, 20:13	manigor	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum a_n^2 \end{eqnarray}$ konvergiert, da die Reihe über die Realteile absolut konvergiert und somit auch das Produkt der Reihen über die Realteile. Nur eine Begründung für $\begin{eqnarray} \sum b_n \end{eqnarray}$ fällt mir gerade nicht ein Vielleicht ein tipp?
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