Gebiete in C

23.04.2010, 13:46

manigor

Gebiete in C

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} G_1, G_2 \end{eqnarray*}$ nicht leere Gebiete in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

a) $\begin{eqnarray*} G_1-G_2={z-w<z\in G_1,w\in G_2} \end{eqnarray*}$ ist ein Gebiet in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

b) $\begin{eqnarray*} G_1 \cup G_2 \end{eqnarray*}$ ist genau dann ein Gebiet in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} G_1 \cap G_2 \neq \end{eqnarray*}$ { }

Meine Ideen:
a) Gebiet, heisst offen und zusammenhaengend.
$\begin{eqnarray*} G_1 \cap G_2 = \end{eqnarray*}$ { } wuerde bedeuten, dass es ein Gebiet ist, da es sich dann ja nur um G_1 handelt.
Aber wie ist es wenn $\begin{eqnarray*} G_1 \cap G_2 \neq \end{eqnarray*}$ { }?

b) Wenn die Vereinigung ein Gebiet ist, dann ist sie ja nach Vorraussetzung offen und zusammenhaengend, also muss der Schnitt ungleich der leeren Menge sein, da die Gebiete sonst nicht mehr zusammenhaengend waeren.

Aber wie soll ich das mathematisch zeigen?

23.04.2010, 14:06

gonnabphd

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Wahrscheinlich ist beides am einfachsten aus dem Wegzusammenhang von Gebieten zu folgern.

Zu a)

Zitat:

..., da es sich dann ja nur um G_1 handelt.

Redest du wirklich von

Zitat:

a) $\begin{eqnarray*} G_1-G_2=\{ z-w | z\in G_1,w\in G_2\} \end{eqnarray*}$

? Wenn schon, dann hast du das ziemlich verfehlt. z.B.

$\begin{eqnarray*} G_1 := B_1(1), G_2 := B_1(-1) \end{eqnarray*}$ , (die 1-Bälle um 1, -1) dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{5}{2} = [\frac{3}{2} - (-1)] \in G_1 - G_2, \quad \frac{5}{2} \notin G_1 \end{eqnarray*}$

25.04.2010, 16:41

manigor

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Hier mal ne idee zur b)

Richtung 1, "=>": Sei G = (G1 $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ G2) ein Gebiet.
In der VL haben wir notiert: "G Gebiet <=> es gibt keine offenen, disjunkten, nicht-leeren Teilmengen U, V Element G mit G = (U $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ V)". Da laut Voraussetzung G1 und G2 Gebiete, also offen und nicht-leer waren, und G = (G1 $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ G2) ein Gebiet ist, folgt: G1 geschnitten G2 ungleich leere Menge.

Richtung 2. "<=": Sei G1 geschnitten G2 ungleich leere Menge.
Da G1 Gebiet <=> existiert für je zwei Punkte z,w element G1 ein Streckenzug von z nach w in G1.
Analog für G2.

Da der Schnitt zwischen G1 und G2 nicht leer ist, gibt es nun auch Punkte x im Schnitt von G1 und G2, die sowohl einen Streckenzug von x nach z element G1 als auch einen Streckenzug von x nach u element G2 haben. => G1 vereinigt G2 ist zusammenhängend.
Da G1 und G2 offen sind, ist auch die Vereinigung zweier offenen Mengen offen

=> G1 vereinigt G2 ist ein Gebiet.

25.04.2010, 17:46

gonnabphd

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Ja, in etwa so hätte ich mir das auch gedacht.

25.04.2010, 18:21

manigor

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noch jemand ne idee zur a)??

25.04.2010, 18:24

gonnabphd

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Nimm zwei Punkte aus der Menge, benutz die Darstellung als Subtraktion und überleg' ein bisschen.

Und verwende: