Mehrdimensionale Analysis - Beispiele

23.04.2010, 15:35

spitzy

Mehrdimensionale Analysis - Beispiele

Meine Frage:
Hallo, wir haben für eine bald folgende Klausur ein paar Übungsbeispiele bekommen zu denen ich ein paar Fragen habe:

Übungsaufgabe 1:

Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \frac{x*y}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$
1) Wie lautet der Definitionsbereich der Funktion?
2) $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) \end{eqnarray*}$ existiert nicht. Wie kann man das mathematisch zeigen?

Gegeben sei weiters die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2+y^2 \end{eqnarray*}$
3) Berechnen Sie den Gradienvektor. Erklären Sie was der Gradientvektor ist.
4) Berechnen Sie die Hessematrix zu 3)

Berechnen und erklären Sie abschließend die Richtungsableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = x^2*y*z+4*x*z^2 \end{eqnarray*}$ im Punkt [1,-2,-1] in Richtung [2,-1,-2]

Meine Ideen:
ad 1)
Ich würde sagen $\begin{eqnarray*} D = \left\{ x,y\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ da x und y alle Werte annehmen können, aber wie zeige ich das mathematisch?

ad 2)
Dazu habe ich echt absolut keine Ahnung, kann mir wer einen Denkanstoß geben?

ad 3)
Gut, dazu differenziere ich partiell und erhalte:

df/dx = 2x
df/dy = 2y

Der Vektor müsste damit $\begin{eqnarray*} grad f = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein, richtig?

Tja, wie erklärt man den Gradientvektor richtig... Ich würde einmal sagen es ist jener Vektor einer Funtkion f, der in Richtung des größten Anstiegs zeigt. Warum er das tut ist mir aber nicht klar.

ad 4)
Auch das sollte einfach sein: Ich berechne einfach die zweite Ableitung von f und trage sie in eine Matrix ein:
fxx = 2
fxy = 0
fyy = 2
fyx = 0

Hessematrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ad letztes)
Okay, soviel ich weiß ist dies einfach eine Ableitung einer Funktion in Richtung eines Vektors. Dieser Vektor
(nennen wir ihn v) muss dabei normiert sein, die Richtungsableitung ist dann einfach das Skalarprodukt des Gradienten von f mit v. Korrekt?

Die Berechnung:

df/dx = 2*x*y*z + 4*z^2
df/dy = x^2*z
df/dz = x^2*y+8*x*z

--> Der Gradientvektor: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2*x*y*z + 4*z^2 \\ x^2*z \\ x^2*y+8*x*z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun, das haben wir noch nicht durchgenommen, daher würde ich on the fly sagen, ich setze für x,y,z den gegebenen Punkt ein und erhalte den Vektor: [8,-1,-10].

Das Skalarprodukt von [8,-1,-10] mit [2,-1,-2) ergibt 37...und das ist die Richtungsableitung? Was sagt mir die?

Ich schätze ich habe einige Fehler hineingeworfen, sorry für die (für euch vielleicht trivialen) Fragen, aber ich freue mich auf kompetente Antworten smile

23.04.2010, 16:13

Huggy

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RE: Mehrdimensionale Analysis - Beispiele
Zunächst mal zu 1)

Kann den ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb {R}^2 \end{eqnarray*}$ der Definitionsbereich sein, wenn du in 2) zeigen sollst, dass ein bestimmter Grenzwert nicht existiert?

23.04.2010, 17:09

spitzy

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Tja, das da etwas nicht ganz stimmt hab ich auch schon bemerkt, aber was liegt außerhalb der Funktion?

Normalerweise erstelle ich Definitionsbereiche auf Basis von Werten, die nicht definiert sind, z.B. 0 in 1/x o.ä.

Aber hier ist doch jeder Zahl dabei?? Oder funktioniert dies bei mehrdimensionalen Funktionen gänzlich anders?

23.04.2010, 17:13

Huggy

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Wenn eine Funktion nur durch einen Rechenausdruck gegeben ist, dann meint die Frage nach dem Definitionsbereich den maximalen Bereich, für den der Ausdruck sinnvoll ist. Das ist im ein- und mehrdimensionen gleich.

Was ergibt denn f(0,0)?

23.04.2010, 19:32

spitzy

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Zitat:

Wenn eine Funktion nur durch einen Rechenausdruck gegeben ist, dann meint die Frage nach dem Definitionsbereich den maximalen Bereich, für den der Ausdruck sinnvoll ist

Okay, das ist natürlich etwas anderes

Zitat:

Was ergibt denn f(0,0)?

Okay, ich hab den Fehler gemacht 0/0 = 0 anzunehmen. Dann müsste D einfach R ohne Null sein:

$\begin{eqnarray*} D=\mathbb R \end{eqnarray*}$ \ {0}

23.04.2010, 19:42

Huggy

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Korrekt!

Jetzt zu 2)
Wenn der Grenzwert existiert, muss er unabhängig davon sein, auf welchem Weg man sich (0, 0) nähert. Du kannst dir hier leicht Wege ausdenken, bei denen der Grenzwert auf diesem Weg existiert, aber von Weg zu Weg unterschiedlich ist. Und dann hast du bewiesen, dass der Grenzwert nicht existiert.

23.04.2010, 20:05

spitzy

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Hm, also augenscheinlich kann der Limes an der Stelle schon gar nicht existieren, wenn die Funktion dort gar nicht definiert ist.

Zitat:

Du kannst dir hier leicht Wege ausdenken, bei denen der Grenzwert auf diesem Weg existiert, aber von Weg zu Weg unterschiedlich ist

Das verstehe ich nicht ganz. Also die Idee denke ich ist klar: Ich nähere mich dem Ursprung auf einer Gerade y=kx und und prüfe ob der Limes für (x,y)->(0,0) gilt. Nur: Wie soll man diesen Weg wählen und warum beweist das automatisch auch die Nichtexistenz des lim der Funktion an (0,0)?

23.04.2010, 20:33

Huggy

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Zitat:

Original von spitzy
Hm, also augenscheinlich kann der Limes an der Stelle schon gar nicht existieren, wenn die Funktion dort gar nicht definiert ist.

Das ist falsch.
Der Grenzwert kann existieren, auch wenn die Funktion an der Stelle nicht definiert. Und wenn die Funktion dort definiert ist, können Grenzwert und Funktionswert sich dort unterscheiden.

Zitat:

Du kannst dir hier leicht Wege ausdenken, bei denen der Grenzwert auf diesem Weg existiert, aber von Weg zu Weg unterschiedlich ist

Der Beweis ergibt sich aus der Definition des Grenzwertes. Dort steht doch, wenn man ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wählt, dann muss es ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ geben, so dass für alle Punkte in der Delta-Umgebung gilt ,,, Es kann also nicht sein, dass auf einer Geraden etwas gilt und auf einer anderen etwas anderes.

Du kannst die Geradengleichung einfach in die Funktionsgleichung einsetzen.

23.04.2010, 21:32

spitzy

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Zitat:

Ich befüchte mir fehlt das grundlegende Verständis für Grenzwerte... verwirrt

Also, wenn ich die Geradengleichung in die Funktionsgleichung einsetze erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \frac{x*k*x}{x^2+(k*x)^2} \end{eqnarray*}$

wo ich im Nenner x^2 herausheben und kürzen kann zu

$\begin{eqnarray*} \frac{k}{k^2+1} \end{eqnarray*}$

Was sagt mir das... im Grunde weiß ich damit, nein...

Sorry, ich steh da total auf dem Schlauch, ich weiß nicht worauf das hinausläuft.

23.04.2010, 22:26

Huggy

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Zitat:

Original von spitzy

Zitat:

Ich befüchte mir fehlt das grundlegende Verständis für Grenzwerte... verwirrt

Dann musst du dir die Definition des Grenzwerts noch mal sorgfältig anschauen und an Beispielen klarmachen. In der Definition kommt der Funktionswert an der Stelle, an der man den Grenzwert betrachten will, nicht vor.

Zitat:

DAs Einsetzen ist schon mal in Ordnung.

Das sagt diir:
(1) Auf der Geraden y = kx ist die Funktion f konstant.
(2) Und da sie konstant ist, hat sie an der Stelle x = 0 natürlich auch einen Grenzwert, obwohl sie dort nicht definiert ist, nämlich eben diesen konstanten Wert.
(3) Aber dieser Grenzwert ist für jedes k ein anderer. Das hast du ja oben ausgerechnet.
Deshalb hat die Funktion f an der Stelle (0, 0) keinen Grenzwert.

Das sollte doch nicht nur formal klar sein, sondern auch anschaulich.

24.04.2010, 13:30

spitzy

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Zitat:

Das sollte doch nicht nur formal klar sein, sondern auch anschaulich.

Ich denke jetzt habe ich es verstanden.

Das bedeutet auch, mit

$\begin{eqnarray*} \frac{k}{k^2+1} \end{eqnarray*}$

und die Begründung, der Grenzwert ändert sich abhängig von k ist die Beweisführung im Grunde abgeschlossen!?

24.04.2010, 14:52

Huggy

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Zitat:

Original von spitzy
Das bedeutet auch, mit

$\begin{eqnarray*} \frac{k}{k^2+1} \end{eqnarray*}$

und die Begründung, der Grenzwert ändert sich abhängig von k ist die Beweisführung im Grunde abgeschlossen!?

So ist es.

Zu 3)
Der Gradient ist richtig.

Zitat:

Tja, wie erklärt man den Gradientvektor richtig... Ich würde einmal sagen es ist jener Vektor einer Funtkion f, der in Richtung des größten Anstiegs zeigt. Warum er das tut ist mir aber nicht klar.

Auch das ist richtig.
Die Begründung habe ich mir immer über die Richtungsableitung klar gemacht. Das setzt allerdings voraus, dass die Richtungsableitung erst mal unabhängig von der Definition des Gradienten definiert wird, was nicht immer gemacht wird.

Die Richtungsableitung einer Funktion f an der Stelle $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ in Richtung eines normierten Vektors $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ ist definiert als:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial \vec v}=\lim_{t \to 0}\frac{f(\vec r +t\vec v)-f(\vec r)}{t} \end{eqnarray*}$

Es wird also in die Funktion f eine Gerade eingesetzt und die Richtungsableitung von f ist definiert als die Änderungsrate von f in Richtung dieser Geraden. Das ist jetzt eine normale eindimensionale Ableitung. Mittels der Definition des Gradienten kann man zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial \vec v}=grad \ f \cdot \vec v \end{eqnarray*}$

Und aus den Eigenschaften des Skalarprodukts folgt jetzt, dass die Richtungsableitung betragsmäßig am größten ist, wenn $\begin{eqnarray*} grad \ f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ kollinear sind.

Zu 4)
Die Ableitungen sind richtig, die Matrix nicht. $\begin{eqnarray*} f_{yy} \end{eqnarray*}$ gehört in die rechte untere Ecke.

Zu 5)
Der Gradient allgemein und an der gefragten Position ist richtig.

Die Richtungsableitung ist fast richtig. Es muss nur der Richtingsvektor vorher normiert werden.

24.04.2010, 15:25

spitzy

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Zitat:

Und aus den Eigenschaften des Skalarprodukts folgt jetzt, dass die Richtungsableitung betragsmäßig am größten ist, wenn und kollinear sind.

Danke für die Erklärung Freude

Zitat:

Die Ableitungen sind richtig, die Matrix nicht. gehört in die rechte untere Ecke.

Hoppla, aber jetzt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die Richtungsableitung ist fast richtig. Es muss nur der Richtingsvektor vorher normiert werden.

Argh, dabei hab ichs selbst noch geschrieben aber nicht getan:

$\begin{eqnarray*} \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 2/3 \\ -1/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das Skalarprodukt ist demnach nicht 37 sondern 37/3 = 12,33...

Richtig?

24.04.2010, 16:57

Huggy

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Jetzt ist alles super! Freude

24.04.2010, 17:03

spitzy

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Wunderbar

Dann danke ich dir recht herzlich für die investierte Zeit und die Erklärungen, hat mir wirklich weitergeholfen Wink

Lg, spitzy

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