Mengen im R^n (offen, abgeschlossen etc.)

24.04.2010, 19:13	crosell	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen im R^n (offen, abgeschlossen etc.) Meine Frage: Hallo Leute, wir haben vor einiger Zeit mit Metrischen Räumen in der Vorlesung begonnen. Ich hab mit den Begriffen soweit kein Problem, nur in der vorliegenden Übung komm ich doch nicht so recht weiter. Es geht um folgendes. Ich hab drei Mengen (eigentlich vier, aber die ist gesondert). Diese Mengen sind folgende: $\begin{eqnarray} A=\{x\in C[a,b]: -1<x(t)<1 \,\,\forall t\in [a,b]\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=\{x\in C[a,b]: -1 \leq x(t)\leq 1 \,\,\forall t\in [a,b]\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C=\{x\in C[a,b]: -1<x(t)\leq 1 \,\,\forall t\in [a,b]\} \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist, dass A offen, B abgeschlossen und C keins von beiden ist. Dabei ist der Metrische Raum der Raum der stetigen Funktionen auf [a,b]. Meine Ideen: Im Prinzip geht es ja wenn man so will nur um eine Menge so wirklich, habe ich z.B. erstmal für die erste die Offenheit gezeigt, dürfte die Abgeschlossenheit der Menge B kein Problem sein und dann wohl auch nicht C. Der Ansatz um zu zeigen, dass A offen ist wäre der, dass ich das Komplement von A betrachte: $\begin{eqnarray} A^c=\{x\in C[a,b]: x(t)\notin (-1,1) \,\,\forall t\in [a,b]\} \end{eqnarray}$ und zeige, dass für jede Funktionenfolge $\begin{eqnarray} x_n(t)\in A^c \end{eqnarray}$ die gegen eine Funktion $\begin{eqnarray} x(t)\in C[a,b] \end{eqnarray}$ strebt, diese Grenzfunktion dann wieder Element des Komplements ist, denn damit wäre diese abgeschlossen folglich A offen. Soweit richtig bis hierher, oder eine Idee wie es leichter geht? Irgendwie wurde uns keine spezifische Metrik gegeben m.H. wir die Konvergenz hier untersuchen könnten (davon ist in der Aufgabe auch gar keine Rede). Da wir aber erst einen Satz in der VL hatten, dass auf dem R^n die Normen äquivalent zueinander sind, kann ich wohl einfach mit der "Betragsmetrik" arbeiten. Tja ich hab mir zwar schon solche $\begin{eqnarray} x_n(t)\in A^c \end{eqnarray}$ konstruiert, komme aber bei Konvergenzbetrachtungen gegen eine Grenzfunktion noch nicht auf ein passende Abschätzung, so dass z.b. sowas dasteht wie $\begin{eqnarray} x(t)\geq 1 \end{eqnarray}$ , naja überhaupt müssten ja bei einer solchen Verfahrensweise gleich beide Bedingungen herauskommen, damit es zu A^c gehört. Irgendwie werde ich das Gefühl nich los, dass ich mir das zu umständlich mache. Bin für Anregungen und Ideen offen. Grüße an die Community. Euer Crosell
24.04.2010, 19:28	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Vorgehensweise sollte funktionieren. Die "normale" Metrik auf C bekommt man mit der Supremumsnorm. In diesen speziellen Fällen kommt es aber auf die benutzte Norm - jedenfalls soweit ich das sehe - nicht an. (Dabei meine ich die p-Normen)
24.04.2010, 19:33	crosell	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen im R^n (offen, abgeschlossen etc.) Schonmal gut zu wissen, das ich richtig liege. Also die Supremumsnorm, die sollte bei der Beschränktheit der Intervalle die vorgegeben sind gerade sehr passend sein. Na ich probier erstmal weiter, vllt. nicht unbedingt mehr heut abend, aber morgen dann wieder. Poste dann auch ein paar Lösungsideen sollte ich nicht gänzlich weiterkommen. Danke erstmal für den Tipp mit der Supremumsnorm.
25.04.2010, 18:50	crosell	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen im R^n (offen, abgeschlossen etc.) Also so richtig komm ich mit der Aufgabe irgendwie doch nich zurecht. Sagen wir mal Menge $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Dann definiere ich mir ne Folge $\begin{eqnarray} x_n(t) \end{eqnarray}$ mit der Bedingung, dass $\begin{eqnarray} \|x_n(t)\|\leq 1 \end{eqnarray}$ , somit ist $\begin{eqnarray} x_n(t)\in B \end{eqnarray}$ . Weiterhin sollen die $\begin{eqnarray} x_n(t) \end{eqnarray}$ stetig auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ sein und ebenfalls soll gelten $\begin{eqnarray} x_n(t)\to x(t) \end{eqnarray}$ gleichmäßig auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ somit natürlich auch punktweise. Dann gilt auf jeden Fall: $\begin{eqnarray} \|x_n(t)-x(t)\|_{\infty}\to 0 \end{eqnarray}$ . Soho nun geht das abschätzen wieder los. Ich würde in einem ersten Schritt erstmal vermuten: $\begin{eqnarray} \|x_n(t)-x(t)\|_{\infty}\leq \|1-x(t)\|_{\infty} \end{eqnarray}$ , aber von dort komme ich noch nicht unbedingt gleich auf eine Bedingung $\begin{eqnarray} \|x(t)\|\leq 1 \end{eqnarray}$ und somit auf $\begin{eqnarray} x(t)\in B \end{eqnarray}$ oder? Das wäre ja das Ziel.
25.04.2010, 19:44	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Öhm, vermutlich denkst du etwas zu kompliziert: $\begin{eqnarray} \text{Sei $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine reelle Folge, $a_n \rightarrow a$. Dann: $\|a_n\| \leq 1 \quad \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \|a\| \leq 1$.} \end{eqnarray}$
25.04.2010, 19:47	crosell	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du wohlmöglich sehr recht Ja logischerweise kann der Grenzwert einer Folge die selbst immer kleiner gleich eins ist, nicht plötzlich größer als eins sein. Ach ich hatte schonmal Wochenende an denen meine Logik besser funktioniert hat.
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