Legendre-Polynome

24.04.2010, 21:50

Sebi06

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Legendre-Polynome

Guten Abend!

Ich habe vorher das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren auf die Standardbasis (1, x, x,^2, x^3, x^4) angewendet, und wollte fragen, ob meine Lösung stimmt:

$\begin{eqnarray*} v_1 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ x \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} -x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ x^2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} -x^2 -x^3 \begin{pmatrix} 0 \\ x \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ x^3 \\ 0 \end{pmatrix} -x^3 -x^4 \begin{pmatrix} 0 \\ x \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - x^5 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ x^2\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_5 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ x^4 \end{pmatrix} -x^4 -x^5 \begin{pmatrix} 0 \\ x \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} -x^6 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ x^2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} -x^7 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ x^3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.04.2010, 00:22

tigerbine

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RE: Legendre-Polynome
Hallo.

Ich werde aus deiner Form der Notation nicht schlau. Und was war die Aufgabe? 1,x,x²,... zu orthonormieren?

Zum Thema Legendre-Polynome steht hier was: [WS] Orthogonale Polynome oder http://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Po...gendre-Polynome

25.04.2010, 01:43

Sebi06

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RE: Legendre-Polynome
Besten Dank für deine Antwort!

Ich hab mir den Inhalt des Linkes angeschaut - das ist wirklich sehr hilfreich, und tatsächlich die richtigen Legendre-Polynome =)

Meine Frage, die ich nun aber noch habe, ist, wie man denn durch das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren auf die Standardbasis diese Polynome erhält...
Im letzten Post habe ich das nach dem Algorithmus aus:

de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Funktionsprinzip_der_Verfahren

veruscht - jedoch ohne Erfolg..

Vielen Dank für die Hilfe und eine gute Nacht!

25.04.2010, 14:21

tigerbine

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RE: Legendre-Polynome
Vorab, bzgl. welches Skalarprodukts soll orthonormiert werden? Hier mal eine Beispielaufgabe.

[Numerik I] - Übung 9 *

25.04.2010, 16:30

Sebi06

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RE: Legendre-Polynome
Genau so, wie es im verlinkten Post gemacht worden ist, wollte ich das machen.

Ich soll das bezüglich des Skalarpridukts:
$\begin{eqnarray*} <f, g> := \int_{-1}^1 \! f(x) g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Wie würde hierzu $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ aussehen?
Ich habe den Schritt, der in der Aufgabe 9 (aus dem verlinkten Post) gemacht wurde, noch nicht ganz nachvollziehen können - bzw. ich habe noch nicht gsehen, wie man darauf kommt? (Also primär auf das Integral im Zähler und Nenner - das Berechnen und Kürzen nachher ist wider klar).

Vielen Dank für die Hilfe und einen schönen Sonntag!

25.04.2010, 16:41

tigerbine

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RE: Legendre-Polynome
Ich verstehe die Frage nicht. Die Rechnung ist doch ausführlich.

$\begin{eqnarray*} u_2&&= v_2 - \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\langle u_1,u_1 \rangle} \cdot u_1 =x-\frac{\int_0^1x^{\frac{2}{3}}dx}{\int_0^1x^{-\frac{1}{3}}dx} = x-\frac{\frac{3}{5}}{\frac{3}{2}} \\&&= x-\frac{2}{5} \end{eqnarray*}$

du musst <,> eben mit deinem Integral machen.

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26.04.2010, 22:21

Sebi06

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RE: Legendre-Polynome
Ja, natürlich, alles klar! smile

smile

Ich habe den Term rechts vom Bruch jeweils "übersehen", und bin deshalb nie auf das richtige Resultat gekommen.

Eine Frage hätte ich allerdings noch - nochmals zum selben Skalarprodukt:
Wie lässt sich eine Darstellungsmatrix (von <.,.>) bezüglich der Standardbasis (1, x, x^2, x^3, x^4) bestimmen?

26.04.2010, 22:35

tigerbine

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RE: Legendre-Polynome
Verstehe nicht was du meinst. Die Integralabbildung ist zwar linear, aber wie ich das für bestimmte Integrale in eine Matrix schreiben soll verwirrt

verwirrt

Wie kommst du darauf?

26.04.2010, 22:49

Sebi06

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RE: Legendre-Polynome
Ich meine die Darstellungmatrix von:

$\begin{eqnarray*} <f, g> := \int_{-1}^1 \! f(x) g(x) \, dx \end{eqnarray*}$ bezüglich der Standardbasis.

26.04.2010, 22:59

tigerbine

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RE: Legendre-Polynome
Ok, und warum sollte es die geben? verwirrt

verwirrt

Ich kenne http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...atrizenprodukt, aber das heißt ja nicht, dass sich jedes Skalarprodukt so darstellen lässt.

26.04.2010, 23:36

giles

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RE: Legendre-Polynome

Zitat:

Original von tigerbine
Ok, und warum sollte es die geben? verwirrt

verwirrt

Ich kenne http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...atrizenprodukt, aber das heißt ja nicht, dass sich jedes Skalarprodukt so darstellen lässt.

Also wir hatten seiner Zeit, dass der Raum der Bilinearformen $\begin{eqnarray*} K^m \times K^n \to K \end{eqnarray*}$ isomorph zu dem Raum der Matrizen $\begin{eqnarray*} M_{m,n}(K) \end{eqnarray*}$ ist.

Auf Wikipedia steht auch noch die Abbildung, wie man so eine Koordinatendarstellung findet, im Wesentlichen gilt $\begin{eqnarray*} a_{i,j} = B(e_i , e_j) \end{eqnarray*}$ also das Bild der i-ten und j-ten Basisvektoren.

Ist aber alles auch schon wieder lange her...

28.04.2010, 19:45

Sebi06

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RE: Legendre-Polynome
@ giles:
Dann meinst du, sei die Lösung das Bild der i-ten und j-ten Basisvektoren?

@tigerbine , @giles
Ich habe auch noch etwas gefunden - ich nehme an, das wird zu dieser Aufgabe angenommen:
Der Vektorraum sei $\begin{eqnarray*} V:= \mathbb R_{<5}[x] \end{eqnarray*}$ . Auf diesem sei dann die Abbildung <.,.> : V x V --> IR durch $\begin{eqnarray*} <f, g> := \int_{-1}^1 \! f(x) g(x) \, dx \end{eqnarray*}$ gegeben, und dazu soll nun eben die Darstellungsmatrix (wenn die Aufgabe so lautet, sollte es (nehme ich an) schon eine geben..) bezüglich der Standardbasis (1, x, ..., x^4) bestimmt werden.

28.04.2010, 21:44

giles

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Ja, richtig. Du musst dir jetzt die Basen wählen (hast ja zwei mal die selbe) und die einzelnen Elemente miteinander durchs Skalarprodukt schicken und das Resultat dann nach der Vorschrift als Matrix schreiben, also wenn $\begin{eqnarray*} e_i := x^{i-1} \end{eqnarray*}$ (das legt dann auch die Koordinatenform der Polynome fest) dann wären die Matrixelemente eben $\begin{eqnarray*} a_{ij}=<e_i , e_j> \end{eqnarray*}$

Wenn du einmal allgemein $\begin{eqnarray*} \int^{1} _{-1} x^n \dx \end{eqnarray*}$ ausrechnest ist das schnell gemacht.

28.04.2010, 22:25

Sebi06

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Also, $\begin{eqnarray*} \int^{1} _{-1} x^n \dx \end{eqnarray*}$ allgemein ausgerechnet gibt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1+(-1)^n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich nicht ganz: "... und die einzelnen Elemente miteinander durchs Skalarprodukt schicken und das Resultat dann nach der Vorschrift als Matrix schreiben..."

Wäre es möglich, das vielleicht anhand einer konkreten Basis zu zeigen, wie das gedacht wäre?

Vielen Dank!

28.04.2010, 23:06

giles

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Betrachten wir mal einen niedrigdimensionaleren Fall. Nehm dir z.B. mal die Basen
$\begin{eqnarray*} \left\{1,x \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\{1,x \right\} \end{eqnarray*}$

d.h. du machst also eine Identifikation in etwa so $\begin{eqnarray*} a \cdot 1 + b \cdot x \hat{=} \left({a\atop b}\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt rechst du die Elemente der darstellenden Matrix des Skalarproduktes aus

$\begin{eqnarray*} a_{11} = \int^1 _{-1} 1 \cdot 1 \dx = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{21} = a_{21}= \int^1 _{-1} x \cdot 1 \dx = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{22}= \int^1 _{-1} x \cdot x \dx = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

dann wäre jetzt z.B.

$\begin{eqnarray*} < a+bx, c+dx > = \langle \left( a \atop b \right), \left(\begin{matrix}2 & 0\\ 0 & \frac{2}{3}\end{matrix}\right) \left( c \atop d \right) \rangle_{2} \end{eqnarray*}$

wobei ich mit $\begin{eqnarray*} \langle \cdot , \cdot \rangle_{2} \end{eqnarray*}$ jetzt das Standardskalarprodukt im R^2 meine

28.04.2010, 23:59

Sebi06

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Ahhh..das heisst in userem Fall haben wir die Basen:
{1,x,x^2,x^3,x^4} und {1,x,x^2,x^3,x^4} und {1,x,x^2,x^3,x^4} und {1,x,x^2,x^3,x^4} und {1,x,x^2,x^3,x^4}

Dann macht man eine Identifikation: $\begin{eqnarray*} a \cdot 1 + b \cdot x + c \cdot x^2 + d \cdot x^3 + e \cdot x^4 = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann rechnet man die Elemente der darstellenden Matrix nach:
a_11 = ...
...
bis a_55 = ...

Und die darstellende Matrix ist dann bei deinem Beispiel die mittlere im Skalarprodukt.

Kann man so vorgehen, für meine Standardbasis?

29.04.2010, 00:16

giles

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Genau so (in etwa) ist der Plan.
Du hast immer nur 2 Basen (jeweils von V), weil das Skalarprodukt ja von $\begin{eqnarray*} V\times V \to K \end{eqnarray*}$ abbildet. Du kannst dabei natürlich in <x,y> das x und y Argument in verschiedenen Basen ausdrücken und dazu eine Matrix angeben, aber wird wohl i.A. eher nicht gemacht und ist hier auch explizit nicht gefragt =)
Benutz dabei am besten auch, dass wegen der Symmetrie des Skalarprodukts $\begin{eqnarray*} a_{ij}=a_{ji} \end{eqnarray*}$ sonst schreibst du dir einen Wolf smile

smile

29.04.2010, 00:57

Sebi06

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Ahh super! smile

smile

Besten Dank!

Das heisst, die erste Zeile der Darstellungsmatrix ist:
(2 , 0 , 2/3 , 0 , 2/5)

Kann das sein? =)
Schönen Abend und danke nochmals!

29.04.2010, 15:46

giles

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Ja, das sieht korrekt aus.

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