Dichtefunktion f(X+Y) für Exponentialverteilung

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25.04.2010, 11:18	Gladeas	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtefunktion f(X+Y) für Exponentialverteilung Hallo zusammen, ich habe bei einer Prüfungsaufgabe Probleme bzw. sehe nicht, wo mein Fehler liegt: Aufgabenstellung: Gegeben sind zwei unäbhängige Zufallsvariablen X,Y, die exp(1)-verteilt sind. Bestimmen Sie die Dichtefunktion von X+Y. Lösung: Kein Problem - dachte ich... Man nehme die bekannte Faltung unabh. ZV X,Y mit den Dichten f und g: $\begin{eqnarray} (fg) (u) = \int_{-\infty}^{ \infty } \! f(u-y) g(y) \, dy \end{eqnarray}$ außerdem die Dichte der exp(1)-Verteilung: $\begin{eqnarray} f(x) = e^{-x} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} f(y) = e^{-y} \end{eqnarray}$ Eingesetzt ergibt das dann: $\begin{eqnarray} (fg) (u) = \int_{0}^{ \infty } \! e^{-(u-y)} e^{-y} \, dy \end{eqnarray}$ wobei die Untergrenze wegen Exponentialverteilung Null sein muss. Somit erhalte ich insgesamt: $\begin{eqnarray} (fg) (u) = \int_{0}^{ \infty } \! e^{-u} \, dy = e^{-u} \int_{0}^{ \infty } \!1 \, dy = \infty \end{eqnarray}$ Was ja nicht sein kann. Ich vermute, dass ich in der letzten Gleichungskette ein Denkfehler habe. Aber mir ist nicht klar wo? Liegt es daran, dass u=x+y und daher $\begin{eqnarray} e^{-u} \end{eqnarray*}$ nicht aus dem Integral gezogen werden darf? Oder mache ich doch bei den Grenzen einen Fehler? Für eine hilfreiche Erklärung wäre ich wirklich dankbar! ^v^Viele Grüße Gladeas ^v^
25.04.2010, 11:28	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Fehler ist nur, dass die Dichtefunktion der Exponentialverteilung (mit Parameter 1) nicht $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ ist, sondern $\begin{eqnarray} e^{-x} \cdot \chi ( \mathbb R^+) \end{eqnarray}$
25.04.2010, 11:41	Gladeas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Duedi, erst mal danke für die schnelle Antwort. Die Indikatorfunktion habe ich doch aber durch die Grenzsetzung von 0 bis unendlich im Integral berücksichtigt, oder? Und falls nicht, wie würde gegebenenfalls dann die Rechnung aussehen? ^v^Viele Grüße Gladeas ^v^
25.04.2010, 11:46	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich geb dir mal den Ansatz: $\begin{eqnarray} (fg)(u) = \int_{-\infty}^\infty e^{-(u-y)}\cdot \chi_{\mathbb R^+}(u-y)\cdot e^{-y}\cdot \chi_{\mathbb R^+}(y) \mathrm d y \end{eqnarray}$ Der nächste wichtige Schritt ist, $\begin{eqnarray} \chi_{\mathbb R^+}(u-y) \end{eqnarray}$ in eine charakteristische Funktion umzuschreiben, die nur noch von y, aber nicht mehr von u abhängt, also etwas von der Gestalt $\begin{eqnarray} \chi_A (y) \end{eqnarray*}$ , wobei A eine Menge ist. Dann kannst du nämlich die beiden charakteristischen Funktionen zusammenfassen. P. S.: "charakteristische Funktionen" benutze ich synonym zu "Indikatorfunktionen"
25.04.2010, 12:01	Gladeas	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst also eine Art Faltung der Indikatorfunktionen? Sapperlot, gibt's sowas auch? Ehrlich, ich habe keinen Plan wie das laufen soll. Wir haben in WT bisher die Indikatorfunktion bei den Dichten höchstens bei der Gleichverteilung hingeschrieben und die "Groberklärung" war, dass die Indikatorfunktion angibt in welchen Zahlenbereich die Dichte vorliegt und in welchen sie einfach 0 ist. Entsprechend dachte ich, dass ich auch nur hier die Einschränkung des Integrals nur von 0 bis unendlich vornehmen muss und damit am Ziel bin. Ich habe jetzt auch extra noch einmal meine Mitschriebe durchgeblätter, aber ich finde wirklich nichts, was in die Richtung geht. Würde mich auch wundern, weil ich das Skript inzwischen fast in und auswendig kann (nächste Woche Prüfung). Kannst Du vielleicht mir das noch näher erläutern? Und vielleicht auch die Lösung etwas mehr präzisieren. Wäre wirklich nett. Denn offenbar tut sich hier eine ziemlich große Lücke auf... ^v^ Viele Grüße Gladeas ^v^
25.04.2010, 12:38	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nene, mit Faltung von Indikatorfunktionen hat das hier nichts zu tun, schreibe einfach nur in Abhängigkeit von u diese Menge A, sodass $\begin{eqnarray} \chi_{\mathbb R^+}(u-y) = \chi_A(y) \end{eqnarray}$ . Der Rest sollte sich dann ergeben. P. S.: War grad essen, daher die Schreibpause
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25.04.2010, 13:09	Gladeas	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann mal mein Lösungsversuch (ich schreibe die Indikatorfunktion nur eben mit 1, da so gelernt): $\begin{eqnarray} 1_{(0,\infty )} (u-y) = 1_{ (-u , \infty -u)} (-y) = 1_{(-\infty +u, u)} = 1_{(-\infty, u)} \end{eqnarray}$ jetzt die beiden Indikatorfunktionen mulipliziert $\begin{eqnarray} 1_{(-\infty, u)} 1_{(0,\infty )} = 1_{(0,u)} \end{eqnarray}$ Somit sind meine Grenzen von 0 bis u, d.h. es ergibt sich: $\begin{eqnarray} ff(u) = ... = \int_0^u \! e^{-u} \, dx = u e^{-u} \end{eqnarray*}$ Das Ergebnis ist also dann eine Exponentialverteilung exp(u). Edit: Ne, moment, dass ist keine Dichte einer Exponentialverteilung mehr... weder exp(1) noch exp(u)... Oder? Richtig? ^v^ Viele Grüße Gladeas ^v^
25.04.2010, 13:15	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis ist korrekt, du solltest aber darauf verzichten, es mit "Exponentialverteilung" zu betiteln, die Faltung dieser beiden Dichten ist einfach $\begin{eqnarray} ue^{-u} \end{eqnarray}$
25.04.2010, 13:29	Gladeas	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, ich danke Dir für die schnelle Hilfe! Schönen Sonntag noch!

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