wegzusammenhängend beweis |
| 25.04.2010, 13:20 | jana-stud | Auf diesen Beitrag antworten » |
| wegzusammenhängend beweis Im Rahmen der Analysis 2-Vl haben wir die folgende Aufgabe gestellt bekommen: Beweisen Sie, dass die Menge {(x; y; z) \in R^{3} : x² + y² = 1} wegzusammenhängend ist. Dabei hatten wir folgende Definition für "wegzusammenhängend": (X,U) topologischer Raum, M, eine Teilmenge aus X, heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je 2 Punkten p, q \in M eine stetige Kurve f: [0,1]->M gibt und f(0)=p und f(1)=q ist. Mit dieser Definition kann ich leider nicht viel anfangen, ich habe bereits im Internet nach Beispielen für Wegzusammenhang gesucht, hab aber nichts Verständliches gefunden. Ich habe mir die Menge auch mal aufgezeichnet. Ich weiß aber einfach nicht wie ich "Wegzusammenhang" zeigen soll bzw. was das auch bildlich heißt. Hoffe auf Eure Hilfe, vielen Dank Jana. |
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| 25.04.2010, 14:17 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Am Besten, wir arbeiten zuerst an deinem Verständnis. Ich gebe mal ein Beispiel für eine wegzusammenhängende und eine nicht wegzusammenhängende Menge: [attach]14403[/attach] Diese Menge ist wegzusammenhängen, da man zu allen Punkten eine stetige Kurve finden kann, die die beiden Punkte verbindet und die immer in der Menge bleibt. [attach]14402[/attach] Dies ist bei dieser Menge nicht möglich: Zwar sind A und B leicht so zu verbinden, dass alle Bedingungen erfüllt sind, wenn man aber einen weiteren Punkt im anderen Teil der Menge heraussucht, lässt sich keine stetige Funktion f finden, deren Bild immer in der Menge bleibt, die aber z. B. A und C verbindet. Ist jetzt die Definition klar? |
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| 25.04.2010, 14:25 | jana-stud | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Definition ist anhand der Mengenbilder klar, aber wie übertrage ich das auf die Aufgabe? Ich muss doch jetzt irgendwie zeigen, dass ich für je Punktepaar, wenn ich sie verbinde in der Menge bleibe, oder? |
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| 25.04.2010, 14:32 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau. Du musst also jetzt so eine stetige Funktion finden, deren Bild immer in der Menge bleibt. Da gibt es natürlich unendlich viele Möglichkeiten. Was wäre denn naheliegend und besonders einfach (und ist das hier anwendbar?)? |
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| 25.04.2010, 14:42 | jana-stud | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich hab leider keine Idee, an welche Funktion denkst du denn? und wieso muss sicher gehen, dass sie hier anwendbar ist, d.h. wann ist denn so eine Funktion nicht anwendbar? Vielen Dank für deine Hilfe. |
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| 25.04.2010, 14:42 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was ist denn die einfachste Verbindung zwischen zwei Punkten? 
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| 25.04.2010, 14:57 | jana-stud | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich würde im Normalfall an eine Gerade denken, aber irgendwie bin ich durch die ganze Aufgabenstellung und dadurch, dass ich schon den ganzen Tag daran verzweifle irritiert 
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| 25.04.2010, 15:07 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau, das ist die richtige Idee. Allerdings funktioniert das nicht immer, ich gebe dir mal ein Beispiel: [attach]14407[/attach] Hier ist die Strecke zwischen zwei Punkten nicht immer so eine Funktion, da sie für gewisse Punkte die Menge verlässt. Und das, obwohl die Menge offensichtlich wegzusammenhängend ist (die grüne Funktion ist etwa eine geeignete). Das liegt daran, dass diese Menge nicht konkav ist. Ah, ich sehe gerade, ich habe deine Aufgabenstellung vielleicht nicht ganz genau gelesen. Wichtige Frage: Ist die Menge oder ? (Je nachdem funktioniert die gerade Verbindungsstrecke nämlich doch nicht, sry
)Und wenn wir das geklärt haben: Weißt du denn, wie diese Menge aussieht? |
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| 25.04.2010, 15:18 | jana-stud | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es ist ein Kreis in der x-y-Ebene, oder? |
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| 25.04.2010, 15:19 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wir sind aber im |
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| 25.04.2010, 15:26 | jana-stud | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aber die z-Koordinate ist doch 0. Ich steh auf dem Schlauch, tut mir leid...:-( |
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| 25.04.2010, 15:27 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Warum sollte die 0 sein? Wenn keine Information drüber gegeben ist, ist die z-Koordinate beliebig. |
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| 25.04.2010, 15:35 | jana-stud | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hab jetzt für z=0 und z=1 versucht die Menge zu zeichnen(mit der Bedingung, dass x²+y²=1 ist). Sieht irgendwie nach nichts Eindeutigem aus... |
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| 25.04.2010, 16:42 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast zwei Bedingungen: und beliebig. Das Erste hast du vorhin richtig als Kreis in der x-y-Ebene betitelt. Nun ist jetzt aber z beliebig. Also hast du alle Kreise in jeder möglichen Parallele zur x-y-Ebene (also ein Zylindermantel). Und jetzt überleg dir mal anhand meiner Zeichnung, wie du so eine Funktion konstruieren könntest, die jede möglichen Punkte verbindet und auf dem Mantel bleibt (hier geht nicht die geradlinige Verbindungsstrecke). Bin jetzt erstmal im Sport, also bis später. (Vielleicht hilft dir zwischenzeitlich jemand anderes.) [attach]14409[/attach] |
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