2 Tangentialebenen an einer Kugel, parallel zu geg. Ebene |
| 25.04.2010, 14:51 | Mathematifiziert | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| 2 Tangentialebenen an einer Kugel, parallel zu geg. Ebene Moin! Ich übe gerade mit meiner Freundin analytische Geometrie und wir sind über die allseits beliebte Aufgabe gestoßen: Stellen Sie die Tangentialebenen an der Kugel K, die parallel zur Ebene E verlaufen, auf und nennen sie die Berührungspunkte. K: [Vx - (3;-2;-1)]^2 = 9 E: Vx * (-2;1;2) = 12 Meine Ideen: Klar ist, was zu tun ist: Gerade vom Mittelpunkt Vm der Kugel zum Normalenvektor Vn der Referenzebene bilden: g: Vx = (3;-2;-1) + t*(-2;1;2)-(3;-2;-1) g: Vx = (3;-2;-1) + t*(-5;3;3) Nun wird die Geradengleichung in die Kugelgleichung eingesetzt: K: [(3;-2;-1) + t*(-5;3;3)-(3;-2;-1)]^2 = 9 K: [(0;0;0)+1t]^2 = 9 K: t^2 = 9 K: t = 3 t wird nun in die Geradengleichung eingesetzt, um den Schnittpunkt der Gerade mit der Kugeloberfläche und somit mit den Ortsvektor der ersten Tangentialebene zu erhalten: g: Vx = (3;-2;-1) + 3(-5;3;3) g: Vx = (3;-2;-1) + (-15;9;9) g: Vx = (-12;7;8) Da die Tangentialebenen parallel zur Referenzebene sein sollen, sind die Normalenvektoren der Ebenen linear abhängig, wir können also den Normalenvektor der Referenzebene übernehmen: TE1 in PNF: [Vx - (-12;7;8)] * (-2;1;2) = 0 Da der Mittelpunkt M der Kugel bekannt ist, können wir den ersten berechneten Schnittpunkt um den zweifachen Radius verschieben, um den gegenüberliegenden Schnittpunkt zu erhalten: B2 = 2M - B1 = 2(3;-2;-1) - (-12;7;8) B2 = (6;-4;-2) - (-12;7;8) B2 = (18;3;6) Somit lautet die zweite Tangentialebene: TE2 in PNF: [Vx - (18;3;6)] * (-2;1;2) = 0 Nun, die Lösung im Buch schlägt folgendes vor: B1(1;-1;1), B2(5;-3;-3) TE1: -2x1 + x2 + 2x3 = -1 TE2: -2x1 + x2 + 2x3 = -19 Nun erklär mir mal einer, was wir falsch gemacht haben und wie die im Buch auf diese Lösung gekommen sind. Meiner Meinung nach haben die nämlich lediglich Vn-Vm gerechnet und den somit berechneten Vektor als Berührpunkt benutzt, was ja quatsch ist, da die gegebene Ebene ja keine Tangentialebene ist, weil Vn außerhalb der Kugel liegt. Man muss aber die Gerade von Vm zu Vn noch mit der Kugel schneiden, um den wirklichen Berührpunkt zu berechnen, finde ich. Haben die aber anscheinend nicht getan. An thoughts? Das wäre wirklich sehr nett. Dankeschön! |
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| 25.04.2010, 15:15 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: 2 Tangentialebenen an einer Kugel, parallel zu geg. Ebene die lösungen im buch sind richtig 
gerade durch M in die kugelgleichung einsetzen ergibt sofort woraus der rest folgt |
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| 25.04.2010, 17:53 | Mathematifiziert | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
schade, ich fand unseren ansatz so klasse 
nagut, schön, dass es auch einfacher geht. vielen dank! |
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| 25.04.2010, 17:56 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
offensichtlich geht´s nicht nur einfacher, sondern auch richtiger! wenn du dir die mühe machtest, deine überlegungen in LATEX zu gießen, würde ich sie mir anschauen
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| 25.04.2010, 18:26 | Mathematifiziert | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry, latex kann ich nicht. jetzt hatte ich eben nen text geschrieben aber dann sprang auf einmal der latex-editor an und nun war mein text, den ich in der zwischenablage hatte futsch.. also ich dachte einfach, dass man den n-vektor nicht direkt als richtungsvektor übernehmen darf, sondern sich erst aus der differenz von mittelpunkt und n-vektor einen neuen richtungsvektor berechnen muss. aber da die tangential-ebenen ja quasi auf dem n-vektor "aufgefädelt" werden, was gewährleistet, dass sie parallel verlaufen, ist es ja nur sinnig, den n-vektor als richtungsvektor zu benutzen. danke nochmal! |
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