Komplexe Gleichung

25.04.2010, 16:37

Ludwig

Komplexe Gleichung

Meine Frage:
Berechne alle Lösungen z der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^{3} = 8j \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} r^{n}e^{jn\phi} = a_{0}e^{j\alpha} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r^{3} = a_{0} = 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r = 2 \end{eqnarray*}$

Alle Lösungen besitzen daher den gleichen Betrag.

Die Argumente bzw. Winkel der Lösungen berechnet man so weit ich weiß so :
$\begin{eqnarray*} \phi_{k} = \frac{\alpha + k * 2\pi }{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ergibt sich aus $\begin{eqnarray*} n * \phi \end{eqnarray*}$

Als Lösungen habe ich raus:

$\begin{eqnarray*} z_{1} = 2e^{j\cdot \frac{\pi }{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{2} = 2e^{j\cdot \frac{5\pi }{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{3} = 2e^{j\cdot \frac{9\pi }{2} } \end{eqnarray*}$

Hab ich mich irgendwie vertan?

26.04.2010, 12:52

Ludwig

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Kann das nun jemand überprüfen?

26.04.2010, 13:10

klarsoweit

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RE: Komplexe Gleichung

Zitat:

Original von Ludwig
Hab ich mich irgendwie vertan?

Ja. Es sollte dir als erstes auffallen, daß bei den Lösungen z2 und z3 die Winkel nicht im Intervall [0, 2*pi) liegen. Dann solltest du mal verraten, was du für alpha genommen hast.

27.04.2010, 10:05

Ludwig

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Für alpha habe ich n * 90° eingesetzt weil die Phase bei 8j 90° beträgt.

27.04.2010, 10:10

Ludwig

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Und für n habe ich 3 eingesetzt weil die gleichung z^3=8j lautet

27.04.2010, 10:17

klarsoweit

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Zitat: