Fourierpolynom bestimmen

25.04.2010, 19:26

DOZ ZOLE

Fourierpolynom bestimmen

Hallo,
ich sitze gerade an der folgeden Aufgabe:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} 2\pi\text{-periodische} \end{eqnarray*}$ Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(x)=|x| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in \left[-\pi,\pi \right] \end{eqnarray*}$ .

Geben Sie das zu f gehörige n-te reele Fourierpolynom an.

Ich hab jetzt angefangen mit $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^n \left(a_k\cos(k\omega x)+b_k\sin(k\omega x)\right) \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{T} \int_c^{c+T} \! f(x)\cdot \cos(k\omega x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ is hier uninteressant da f gerade ist und somit gilt $\begin{eqnarray*} b_k=0 \ \ \forall k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

jetzt konkret zu meinem beispiel:
hier ist $\begin{eqnarray*} T=2\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega=1 \end{eqnarray*}$
nun habe ich erstmal folgendes integral berechnet:

$\begin{eqnarray*} \int \! |x|\cos(kx) \, dx =|x|\frac{\sin(kx)}{k}+\frac{sign(x)\cos(kx)}{k^2} \end{eqnarray*}$

also bekomme ich $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{2\pi} \int_\pi^{3\pi} \! |x|\cos(kx) \, dx=\frac{\cos(3\pi k)-\cos(\pi k)}{\pi k^2} \end{eqnarray*}$

und genau hier ist mein problem. wie leicht zu sehen ist, ist der nullte Fourierkoeffizient $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert. hab ich einen fehler gemacht? wie kann man jetzt weiter machen?

MfG
DOZ ZOLE

25.04.2010, 19:53

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie berechnet man denn $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und wieso sollte der nicht definiert sein?

25.04.2010, 19:57

DOZ ZOLE

Auf diesen Beitrag antworten »

das is nicht definiert weil für $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ der nenner null wird.
allerdings hab ich da nen trick gefunden um $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ doch zu berechnen. aber iwas muss muss bei der berechnung von a $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ trotzdem schief gelaufen sein. wenn ich denn das fourierpolynom aufstelle und mit das ergebnis plotte kommt ne konstante funktion raus

25.04.2010, 20:07

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, vielleicht gilt diese 'Formel' für k=0 gar nicht...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \! |x|cos(0x) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \! |x| \, dx = \ldots \end{eqnarray*}$

Übrigens, woher stammt den dieses ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{T} \int_c^{c+T} \! f(x)\cdot \cos(k\omega x) \, dx \end{eqnarray*}$

und was ist darin c?

25.04.2010, 20:10

DOZ ZOLE

Auf diesen Beitrag antworten »

das kommt aus unserer vl/skript. $\begin{eqnarray*} c\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

25.04.2010, 20:17

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, hatte grad ne kleine Blockade, ja das stimmt schon.

Übrigens steht für k=0 in deiner Formel

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{2\pi} \int_\pi^{3\pi} \! |x|\cos(kx) \, dx=\frac{\cos(3\pi k)-\cos(\pi k)}{\pi k^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

25.04.2010, 20:20

DOZ ZOLE

Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau das war das ausgangsproblem

25.04.2010, 20:45

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du das gesehen?

Zitat:

Naja, vielleicht gilt diese 'Formel' für k=0 gar nicht...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \! |x|cos(0 \cdot x) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \! |x| \, dx = \ldots \end{eqnarray*}$

25.04.2010, 21:14

DOZ ZOLE

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DOZ ZOLE
allerdings hab ich da nen trick gefunden um $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ doch zu berechnen.

und genau das war der trick

Neue Frage »

Antworten »

Fourierpolynom bestimmen

Verwandte Themen