Stetigkeit

26.04.2010, 02:26

Liquor

Stetigkeit

Hey,

hab hier folgendes BSP:

Untersuche die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^{2} -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf Stetigkeit
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac {xy}{|x|+|y|} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(0,0)=0 \end{eqnarray*}$

ich komm bei dem Bsp irgendwie überhaupt ned weiter... welche Methode würde sich hier wohl am besten eignen um die Stetigkeit zu zeigen?

LG

PS: wenn ihr Links kennt mit praktischen Beispielen in denen Stetigkeit einer Funktion mit mehreren Variablen gezeigt wird, dann nur her damit Augenzwinkern

26.04.2010, 06:56

Felix

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Prinzipiell kannst du argumentieren, dass diese Funktion nur aus Grundrechnungsarten und Betragbildung der Projektionen auf die jeweiligen Komponenten besteht(welche stetig sind) und daher stetig ist. Problem dabei ist nur der Punkt (0,0), hier könntest du Beipielsweise durch xy dividieren.

26.04.2010, 10:40

Liquor

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Danke ^^

Hm was meinst du mit "durch xy dividieren"?? Sorry, hab noch Verständnisschwierigkeiten mit Stetigkeit, insb. mit mehreren Variablen ^^

Und könnte ich nicht für diesen einen Punkt (0,0) die Stetigkeit mit Hilfe des Grenzwerts zeigen?
Also: "Eine Funktion f ist stetig in x0 Element D genau dann, wenn der Grenzwert von f für x->x0 existiert und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} f(x)=f(x0) \end{eqnarray*}$ gilt"

Zumindest hab ich das immer für Funktionen mit einer Variable angewendet

27.04.2010, 07:12

Liquor

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hm niemand? ^^

27.04.2010, 11:48

WebFritzi

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Folgendes sollte dir helfen.

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{xy}{|x|+|y|}\right| = |x|\cdot\frac{|y|}{|x|+|y|} \le |x|\cdot\frac{|y|}{0+|y|} = |x|. \end{eqnarray*}$

27.04.2010, 13:57

Liquor

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Hey,
danke dir

das Beispiel habe ich derzeit aber etwas anders gelöst:

Funktion setzt sich aus stetigen Komponenten zusammen (Vgl. Felix), nur für den Punkt (0,0) ist dieses Argument nicht geltend, wegen f/g

Für die Stelle (0,0) habe ich Stetigkeit dann folgendermaßen gezeigt:

Egal von wo ich mich annäher, für die Geraden x=y bzw x=-y ist der Grenzwert 0, was auch mit dem Funktionswert übereinstimmt.

d.h.:
$\begin{eqnarray*} f(0,0)=\lim_{x \to 0} f(x,x)=\lim_{x \to 0} f(x,-x)=0 \end{eqnarray*}$

-> stetig an der Stelle (0,0)

Hm darf ich fragen, auf welche Methode zur Überprüfung von Stetigkeit du hinauswillst? Also wie sich die nennt? Würde nämlich gern dbzgl. etwas nachrechergieren... als nicht-Mathematiker ist dieses Stetigkeitszeugs für Funktionen mit mehreren Variablen nämlich noch komplettes Neuland smile

Daher weiß ich auch nicht so recht, ob der Lösungsweg stimmt... =/

27.04.2010, 14:51

WebFritzi

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Nein, dein Lösungsweg stimmt nicht. Wer sagt dir denn, dass der Grenzwert ebenfalls Null ist, wenn du dich auf y = x² dem Nullpunkt annäherst?

Stetigkeit ist per Epsilon-Delta definiert: Die Funktion f : IR x IR ---> IR ist im Punkt (s,t) stetig, falls es zu jedem E > 0 ein D > 0 gibt, so dass für alle (x,y) mit |(x,y) - (s,t)| < D gilt: |f(x,y) - f(s,t)| < E.

27.04.2010, 18:35

Liquor

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Also ich hab mich jetzt ein bisschen ins Epsilon Delta Kriterium eingelesen...
...und ich bin jetzt wohl noch verwirrter als zuvor ^^

Hm komm irgendwie nicht allzu weit... versteh's einfach noch nicht richtig ><

also es muss zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon> 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ existieren, sodass für alle $\begin{eqnarray*} (x, y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |(x,y)-(s,t)| < \delta \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |f(x,y)-f(s,t)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{xy}{|x|+|y|}\right|-\left|\frac{st}{|s|+|t|}\right|<\epsilon \end{eqnarray*}$

da ja nach deinem Hinweis f(x)<=x ist, kann ich evtl direkt behaupten:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{xy}{|x|+|y|}\right|-\left|\frac{st}{|s|+|t|}\right|<=|x|-|t|<\delta \end{eqnarray*}$

27.04.2010, 19:08

WebFritzi

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Zitat:

Original von Liquor
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{xy}{|x|+|y|}\right|-\left|\frac{st}{|s|+|t|}\right|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Nein. Du setzt die Beträge falsch. Du wirst doch wohl noch in eine Formel einsetzen können.

Und ganz nebenbei ist die Stetigkeít von f außerhalb von (0,0) eh schon klar (Verkettung stetiger Funktionen ist wieder stetig). Das wurde dir auch schon gesagt. Es ist nur (s,t) = (0,0) interessant.

27.04.2010, 19:22

Liquor

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und so? ^^

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{xy}{|x|+|y|}-0\right|<\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{xy}{|x|+|y|}\right| = |x|\cdot\frac{|y|}{|x|+|y|} \le |x|\cdot\frac{|y|}{0+|y|} = |x| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{xy}{|x|+|y|}\right|<=|x|<\delta \end{eqnarray*}$

Edit: welchen Wert hätte jetzt eigentlich mein Delta?

27.04.2010, 19:28

WebFritzi

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Wieso ist |x| kleiner als delta?

Man kann hier für delta den Wert von epsilon verwenden.

27.04.2010, 19:45

Liquor

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hm das < dacht ich eigentlich wegen:
$\begin{eqnarray*} |(x,y)-(s,t)| < \delta \end{eqnarray*}$

oder nicht? ^^

28.04.2010, 03:41

WebFritzi

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Genauer ausführen, bitte.

28.04.2010, 09:55

Liquor

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Hm ok also ich hätte mir jetzt die Lösung so zusammengereimt, stimmt das??

Um Stetigkeit von f(0,0) zu zeigen, beobachte ich das Verhalten von f(x,y) in einer Epsilon-Umgebung von (0,0), abhängig von x und y:

es gilt: $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq(0,0) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x\neq0: |f(x,y)|=\frac{|x|\cdot|y|}{|x|+|y|}<=|y|\cdot\frac{|x|}{|x|}=|y| < \epsilon \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} y\neq0: |f(x,y)|=\frac{|x|\cdot|y|}{|x|+|y|}<=|x| < \epsilon \end{eqnarray*}$

dadurch ist gezeigt, dass f(x,y) auf jeden Fall in einer Epsilon Umgebung liegt

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