Potenzreihen

26.04.2010, 03:17

frieder

Potenzreihen

Hallo.
Ist es möglich die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (-1)^nz^{2n} \end{eqnarray*}$ in die Form zu $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_nz^{n} \end{eqnarray*}$ bringen? Wenn ja, wie geht das?
Über eine Antwort würde ich mich freuen,
frieder

26.04.2010, 06:58

Felix

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$\begin{eqnarray*} a_0 = 1, a_1 = 0, a_2=-1, a_3= 0, a_4 = 1, ... \end{eqnarray*}$ Kannst du dir schon vorstellen worauf ich hinaus will ?

26.04.2010, 11:10

frieder

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Hallo Felix,
aha ok. Das kann ich sehen und verstehen, wie die Folgenglieder von $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ aussehen müssen. Zusammengesetzt würde die Folge dann so aussehen: $\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$ für n ungerade, $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ für n=4k und $\begin{eqnarray*} a_n=-1 \end{eqnarray*}$ für n=4k+2. Ich kriege es aber nicht hin, eine "geschlossene" Formel für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zu finden.... geht das?
lg frieder

26.04.2010, 11:21

Mystic

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Zitat:

Original von frieder
Ich kriege es aber nicht hin, eine "geschlossene" Formel für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zu finden.... geht das?

Klar geht das, z.B.

$\begin{eqnarray*} a_n=\cos(n \pi/2) \end{eqnarray*}$

Ich weiß, das ist jetzt nicht das was du willst, aber es bringt die Sache auf den Punkt: Geschlossene Formel ist eben nicht gleich geschlossene Formel...

26.04.2010, 11:45

Kühlkiste

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RE: Potenzreihen

Zitat:

Original von friederIst es möglich die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (-1)^nz^{2n} \end{eqnarray*}$ in die Form zu $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_nz^{n} \end{eqnarray*}$ bringen?

Warum möchtest Du das tun?

26.04.2010, 13:07

frieder

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warum ich das tun möchte? Die Aufgabenstellung ist so, dass ich eine gegebene Funktion (1/(z^2+1)) in eine Potenzreihe um 0 entwickeln soll. Ich habe keine große Ahnung, wie man das im Allgemeinen tut...(vielleicht mit Partialbruchzerlegung umformen, dann schon bekannte Reihen wie geometrische Reihe anwenden und zusammenfassen? gibts da noch weitere tricks...?). Ich bin so vorgegangen und habe die geometrische Reihe "angewendet" und erhalte das obige Ergebnis, nur leider mit $\begin{eqnarray*} z^{2n} \end{eqnarray*}$ . Ich weiß nicht, ob das auch als Potenzreihe reichen würde, oder ob man das auf die Form $\begin{eqnarray*} a_nz^n \end{eqnarray*}$ bringen muss...

26.04.2010, 13:14

Kühlkiste

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (-1)^nz^{2n} \end{eqnarray*}$ ist eine Potenzreihe und die korrekte Lösung der Aufgabe.

26.04.2010, 13:23

frieder

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ok super! Vielen Dank!

26.04.2010, 16:43

frieder

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noch eine Frage:
Jetzt habe ich eine Potenzreihe der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty c_n (z^2-1)^{2n} \end{eqnarray*}$ . Was mache ich jetzt? Ist das auch schon eine Lösung oder muss ich da noch weiterrechnen, damit die Unbekannte z alleine steht?
lg frieder

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