Übungsaufgabe Testfunktion

26.04.2010, 12:19

Knallcop

Übungsaufgabe Testfunktion

Für ein µ > 0 sei X1;X2; ... eine Folge von stochastisch unabhängigen,
jeweils auf dem Intervall [0; µ] gleich-verteilten Zufallsvariablen.

1. Zeigen Sie, dass für jedes n durch Tn(X1;... ;Xn) := $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n Xi \end{eqnarray*}$

ein erwartungstreuer Schätzer für den Parameter µ gegeben ist.

2. Bestimmen Sie die Varianz von Tn(X1,... ;Xn).

Dies ist eine Aufgabe aus einem Übungszettel aus der Statistik. Kann mir evtl. jemand einen Ansatz für die Lösung geben? Ich verstehe die Aufgabe schon gar nicht wirklich und wäre für jede Hilfe sehr dankbar!!

26.04.2010, 13:53

Knallcop

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Und noch mal schnell was hinzugefügt: Wie bekommt man generell bei der Formel für die Poisson-Verteilung das x! bzw ^x heraus? Ich tippe auf logarythmieren, aber wie denn genau mach ich das? Bitte um Hinweise Forum Kloppe

26.04.2010, 14:55

Huggy

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RE: Übungsaufgabe Testfunktion
Diese rein theoretischen Fragen liegen mir nicht so. Wieso schlafen denn all die stochastischen Theoriekenner noch?

Ich probiere es mal. Erwartungstreuer Schätzer würde doch heißen:

$\begin{eqnarray*} E(T_n)=\mu \end{eqnarray*}$

Ob das stimmt, kannst du leicht nachrechnen. Es ist ja

$\begin{eqnarray*} E(X_i)=\frac{\mu}{2} \end{eqnarray*}$ für alle i

Entsprechend kannst du bei der Varianz vorgehen. Definition hinschreiben und ausrechnen. Für unabhängige Zufallsvariablen X, Y gilt:

$\begin{eqnarray*} E(XY)=E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die Frage musst du schon präziser stellen. So verstehe ich sie nicht.

26.04.2010, 15:40

Knallcop

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Ok, soweit erstmal vielen Dank. aber woher weiss ich, dass E(x) = u/2 sind?

Zumindest in den bekannten gelben Büchern von J. Schwarze steht das so nicht drin, deswegen die Frage, wo man das evtl. nachlesen kann bzw. woher du es herhast.

Zu Poisson:

Ich hatte in einer Klausur mal eine Aufgabe, in der es darum ging, die Variable x aus der bekannten Poisson-Formel herauszubekommen. Die genau Aufgabe weiss ich nicht mehr, da war noch iwas mit 60% oder.. verwirrt

Jedenfalls meine ich, dass dies durch logarythmieren geht? Nur wie? Hast du vielleicht einen Ansatz, wie man das ganze nach x umstellen muss?

26.04.2010, 15:54

Huggy

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Zitat:

Original von Knallcop
Ok, soweit erstmal vielen Dank. aber woher weiss ich, dass E(x) = u/2 sind?

Zumindest in den bekannten gelben Büchern von J. Schwarze steht das so nicht drin, deswegen die Frage, wo man das evtl. nachlesen kann bzw. woher du es herhast.

Das muss nirgends stehen, obwohl es sicher an der einen oder anderen Stelle steht. Es ist anschaulich klar und wenn du deiner Anschauung nicht traust (Vertrauen ist gut, Kontrolle ist besser), hast du den Erwartungswert einer Gleichverteilung in weniger als 10 Sekunden berechnet.

Zitat:

Zu Poisson:

Ich hatte in einer Klausur mal eine Aufgabe, in der es darum ging, die Variable x aus der bekannten Poisson-Formel herauszubekommen. Die genau Aufgabe weiss ich nicht mehr, da war noch iwas mit 60% oder.. verwirrt

Jedenfalls meine ich, dass dies durch logarythmieren geht? Nur wie? Hast du vielleicht einen Ansatz, wie man das ganze nach x umstellen muss?

Ohne genauere Beschreibung der Aufgabe kann ich nicht weiterhelfen. Jedenfalls hat Logarithmieren bei der Poisson-Verteilung wegen des Faktors x! im Nenner nur begrenzten Nutzen.

26.04.2010, 19:25

Knallcop

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Ich weiss nicht wie ich mich verständlicher ausdrücken könnte?

Wenn alle Parameter der Poisson-Verteilung gegeben sind, außer eben x, wie bekommt man das x heraus?

26.04.2010, 19:41

Knallcop

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Ich habe hier bei der Suche übrigens einen Link zu einer Frage gefunden, die genau mein Problem darstellt. Genau um eine solche Art Aufgabe geht es auch bei meiner Frage. Geht das echt nicht so einfach über die Bühne mit dem nach x Auflösen?

26.04.2010, 20:49

Huggy

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Ich nehme mal an, mit x meinst du den Wert der Zufallsvariablen?

Dann hätte man bei der Wahrscheinlichkeitsfunktion

$\begin{eqnarray*} P(X=x)=f(x)=\frac{\mu^x}{x!}e^{-\mu} \end{eqnarray*}$

Ich sehe nicht, wie man das, außer numerisch, nach x auflösen könnte. Und bei der Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x)=F(x) \end{eqnarray*}$

sieht es noch schlechter aus.

24.08.2010, 16:33

Knallcop

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Da mir die lösung noch immer nicht in den Sinn kam, refreshe ich dieses Thread noch einmal.

Hat jemand eine Idee?

24.08.2010, 16:49

Knallcop

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Also eine Idee bezogen auf die Ausgangsfrage.

24.08.2010, 18:03

Huggy

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Bezieht sich das auf die Tn-Aufgabe?