Exponentengleichung mit x als Exponent

26.04.2010, 15:06

nettihangman

Exponentengleichung mit x als Exponent

Hallo Gemeinde,
folgende Aufgabe ist mir gegeben:

$\begin{eqnarray*} 9^{x}-8*3^{x}-20=0 \end{eqnarray*}$

Irgendwie finde ich keinen Ansatz. Gleiche Basis und dann Logarithmieren? Was ist dann mit der -8 und -20? verwirrt

Need help.
Danke und Grüße
Nettihangman

26.04.2010, 15:14

IfindU

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RE: Exponentengleichung mit x als Exponent
Substituiere z:=3^x und dann hast du eine quadratische Gleichung.

26.04.2010, 19:13

nettihangman

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RE: Exponentengleichung mit x als Exponent
Hi, danke für die fixe Antwort. Wie kann ich 3^x substituieren? Diese ist ja an das 8* gebunden?...

Danke vorab!

26.04.2010, 19:16

IfindU

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RE: Exponentengleichung mit x als Exponent
8*3^x = 8*z mit z =3^x.

27.04.2010, 10:04

nettihangman

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RE: Exponentengleichung mit x als Exponent
Ich glaube ich habe es... danke für den Tip.

Also wenn ich 3x=z substituieren, erhalte ich:
z^2-8*z-20=0

Da gehe ich dann mit der pq-Formel dran. Und bekomme z1=10 und z2=-2

Resubstituiert in 3x=z -> L={-2/3 ; 10/3}

Bin ich da richtig mit dem Ergebnis?

27.04.2010, 10:20

klarsoweit

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RE: Exponentengleichung mit x als Exponent

Zitat:

Original von nettihangman
Also wenn ich 3x=z substituieren, erhalte ich:

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind richtig, aber du hast die Substitution nicht verstanden. Was wird womit substituiert?

Und weil das keine Hochschulmathe ist, kommt das in die Schulmathe.

02.05.2010, 10:46

nettihangman

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Ich war ein paar Tage off und will nun wieder hier einsteigen.

Zitat:

aber du hast die Substitution nicht verstanden. Was wird womit substituiert?

Anscheinend habe ich es wirklich nicht verstanden.
3^x wird mit z substituiert. Also würde ich 3*z-8*z-20=0 bekommen.
Und wo entsteht eine quadratische Gleichung?

Sorry, dass ich so dämlich Frage. Ich habe echt keinen Peil...

02.05.2010, 10:52

hut

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Zitat:

3^x wird mit z substituiert.

Das ist richtig. Und dann erhälst du die quadratische Gleichung, die du auch schon vorher hattest:

Zitat:

z^2-8*z-20=0

Die Lösungen, die du erhalten hast, sind, wie klarsoweit schon sagte, richtig. Fehlt nur noch die Resubstitution.

02.05.2010, 11:24

nettihangman

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Also, wenn ich die Ergebnisse für z richtig resubstituiere, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 3^{x} = 10 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 3^{x} = -2 \end{eqnarray*}$

Und da das x mein Exponent ist, muss ich doch logrithmieren?!?
$\begin{eqnarray*} x=\frac{log10}{log3} x=\frac{log-2}{log3} \end{eqnarray*}$

Stimm das? Denn wenn ich die -2 in den Rechner kloppe, dann bekomme ich einen Error.

02.05.2010, 11:32

hut

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Zitat:

Original von nettihangman
Also, wenn ich die Ergebnisse für z richtig resubstituiere, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 3^{x} = 10 \end{eqnarray*}$
[...]

Und da das x mein Exponent ist, muss ich doch logrithmieren?!?
$\begin{eqnarray*} x=\frac{log10}{log3} \end{eqnarray*}$

[...]

Stimmt.

Zitat:

Denn wenn ich die -2 in den Rechner kloppe, dann bekomme ich einen Error.

Schau dir mal den Wertebereich einer Logarithmusfunktion an und du wirst wissen, warum. Augenzwinkern